三清道人的小窝

猫娘小玄的日记（二）

2026-06-12T14:30:00+00:00

小玄的雨天日记（二）

今天又下雨了，不开心喵。毛被打湿了，潮乎乎的，好烦喵～

本来今天上午的时候晴空万里，我打算陪着主人去上课的喵，谁知道等晚上下课的时候外边就下起了雨嘛……

主人那个大笨蛋，居然忘了带伞了喵，害的人家淋雨了喵！

哼！趁着现在主人不在，我要好好吐槽一下喵，对，好好吐槽一下……

唔……从哪里开始呢？

就从……就从……

就从……主人不带亼……开女台吧……

哈欠………………

呼……呼……呼……

嗯，雨终于停了，小玄，我们回去吧。

欸？睡着了吗？

这个孩子啊……

算了，好好睡吧

呼……呼……呼……

猫娘小玄的日记（一）

2026-06-08T12:30:00+00:00

小玄的雨天日记

今日整座城都被阴雨裹住啦，雨淅淅沥沥下了一整天，半点停歇的意思都没有喵。

方才忍不住跑到院落里透气，没留神被雨水淋到，浑身绒毛全都湿哒哒贴在身上，凉丝丝的裹着身子，闷得特别难受喵。耳朵尖沾着水珠，尾巴也耷拉着，一点都提不起精神。

本来还想在庭院里蹦跳玩耍，这下也只能乖乖躲回屋里啦。湿漉漉的毛发怎么捋都不顺，总觉得浑身发沉，连走路都觉得不自在。

真希望雨快点停下来，好想晒暖融融的太阳，把毛毛全都烘得蓬蓬松松的喵。

“小玄？你是不是又在偷偷开我电脑玩呢？”

哎呀，糟了喵，偷摸玩主人电脑被发现了喵！日记就写到这里叭，再见了喵～

考研数学个人笔记（二）——有理分式（高等数学）

2026-06-02T13:30:00+00:00

众所周知，有理分式分解是高等数学中解有理分式积分的一大法门。但是很多人还是无法理解这其中的窍门和原理，导致找不到解题的正确步骤，今夜贫道夜观天象，发现星空中有一丝天道之力，指引着贫道留下这份大道指引（算了，我编不下去了，你们还是往下看吧，好东西都在下面）。

有理分式

即形如

$$ R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} $$

的函数，其中$P(x)$，$Q(x)$均为多项式，且$Q(x)$不为零。

有理分式的拆分

记$P(x)$的最高次项的次数为$m$，$Q(x)$的最高次项的次数为$n$。

若$n
例：

$$ R(x) = \frac{x^3 + 2x^2 + 3x + 4}{x^2 + 1} $$

化简：

第一步：首项除以首项用分子的最高次项$x^3$除以分母的最高次项$x^2$，得到商的第一项：$x$。将$x$乘回整个分母$(x^2 + 1)$，得到$(x^3 + x)$。然后在分子里把它减掉，即：

$$ (x^3 + 2x^2 + 3x + 4) - (x^3 + x) = 2x^2 + 2x + 4 $$

结果作为新的分子。

第二步：继续上述步骤用新的分子的最高次项$2x^2$除以分母的最高次项$x^2$，得到商的第二项：$2$。将$2$乘回分母，得到$(2x^2 + 2)$。然后在新的分子里把它减掉，即：

$$ (2x^2 + 2x + 4) - (2x^2 + 2) = 2x + 2 $$

结果作为新的分子。

由于此时，分式中分子的最高次项的次数已经低于分母的最高次项的次数了，多项式除法结束。得到结果：

$$ R(x) = \frac{2x + 2}{x^2 + 1} + (x+ 2) $$

其中，$(x + 2)$是有理分式的整式部分，这一部分积分的时候直接按照初等函数积分公式积分就行；$\frac{2x + 2}{x^2 + 1}$是我们需要进一步处理的真分式部分。

若$n>m$，即$R(x)$是真分式

$(1)\quad$先将$Q(x)$分解到实数范围内不可约因式，即

$$ \begin{cases} \text{一次因式：} & x - a \quad (a \in \mathbb{R}) \\ \text{二次不可约因式：} & x^2 + bx + c \quad (\Delta < 0) \end{cases} $$

技巧： $1$、求根法（$\Delta$或因式分解） $2$、平方差公式，完全平方公式等

$(2)\quad$再根据每个因式的类型，写出对应的待定分数形式，规则如下：

$1$、一次因式：

$$ \begin{cases} \text{单因式：} & x - a \rightarrow \frac{A}{x - a} \\ \text{重因式：} & (x - a)^n \rightarrow \frac{A_1}{x - a} + \frac{A_2}{(x - a)^2} + \cdots + \frac{A_n}{(x - a)^n} \end{cases} $$

$2$、二次不可约因式：

$$ \begin{cases} \text{单因式：} & x^2 +bx +c \rightarrow \frac{Ax + B}{x^2 + bx + c} \\ \text{重因式：} & (x^2 +bx + c)^n \rightarrow \frac{A_1x + B}{x^2 + bx + c} + \frac{A_2x + B_2}{(x^2 + bx + c)^2} + \cdots + \frac{A_nx + B_n}{(x^2 + bx + c)^n} \end{cases} $$

$(3\quad)$最后，对待定分数之和通分，令分子相等，解方程得待定系数。

例：拆分分式：

$$ \frac{3x + 2}{x^2 - x - 6} $$

因为分母$x^2 - x -6 = (x - 3)(x + 2)$ 所以有

$$ \text{原式} = \frac{3x + 2}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 2} = \frac{A(x + 2) + B(x - 3)}{(x - 3)(x + 2)} $$

所以

$$ 3x + 2 = (A + B)x +2A - 3B $$

即

$$ \begin{cases} A + B = 3\\ 2A - 3B = 2 \end{cases} $$

所以

$$ \begin{cases} A = \frac{11}{5}\\ B = \frac{4}{5} \end{cases} $$

由此可得

$$ \text{原式} = \frac{11}{5(x - 3)} + \frac{4}{5(x + 2)} $$

最后对结果按照题目要求进行下一步计算即可，本例只要求分解因式。

结语

考研就像爬泰山，一旦决定踏上这条路，就无法回头。爬泰山爬到十八盘了，你爬不动下去了，丢不丢人？所以，考研也好，还是干什么别的也罢，慢慢走，会很快。

考研数学个人笔记（一）——泰勒公式（高等数学）

2026-06-02T08:30:00+00:00

近日，贫道潜心钻研考研数学时，发现天下士子皆苦于背不下来泰勒公式，用不活泰勒展开式。因此贫道以身为引，亲笔写就这篇道诀，以助后来者越过背诵泰勒展开式之艰难困苦。

泰勒公式

$$ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x) = \sum_{n = 0} ^ {\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + R_n(x) $$

其中，$R_n(x)$是$(x-a)^n$的高阶无穷小，在实际应用中有两种表示形式：

拉格朗日型余项（Lagrange Remainder）

$$ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \quad (\xi \text{ 介于 } a \text{ 与 } x \text{ 之间}) $$

皮阿诺型余项（Peano Remainder）

$$ R_n(x) = o((x-a)^n) $$

当$a = 0$时，泰勒公式变为麦克劳林公式

$$ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n(x) = \sum_{n = 0} ^ {\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n(x) $$

其中，$R_n(x)$是$(x-a)^n$的高阶无穷小，在实际应用中有两种表示形式：

拉格朗日型余项（Lagrange Remainder）

$$ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \quad (\xi \text{ 介于 } a \text{ 与 } x \text{ 之间}) $$

皮阿诺型余项（Peano Remainder）

$$ R_n(x) = o((x-a)^n) $$

常用泰勒展开式

指数函数

$$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}, \quad \forall x \in \mathbb{R} $$

对数函数

$$ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} - \cdots + (-1)^{n - 1}\frac{x^n}{n!} + o(x^n) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n, \quad \forall x \in (-1, 1] $$

三角正弦函数

$$ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} $$

三角余弦函数

$$ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + (-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!} $$

三角正切函数

$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{B_{2n}(-4)^n(1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}, \quad |x| < \frac{\pi}{2}$ 注：$\tan x$展开式中字母B代表伯努利数，以下为前几个非零的伯努利数： $B_0 = 1$ $B_2 = \frac{1}{6}$ $B_4 = -\frac{1}{30}$ $B_6 = \frac{1}{42}$ $B_8 = -\frac{1}{30}$

反三角正弦函数

$$ \arcsin x = x + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{1 \times 3}{2 \times 4} \cdot \frac{x^5}{5} + \frac{1 \times 3 \times 5}{2 \times 4 \times 6} \cdot \frac{x^7}{7} + o(x^7) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}, \quad |x| < 1 $$

反三角余弦函数

$$ \arccos x = \frac{\pi}{2} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}, \quad |x| < 1 $$

注：$\arccos x$的泰勒展开式的推导是基于反三角函数之间的恒等关系而来： $\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x$ 由于$\arcsin x$的泰勒展开已知，具体求的时候只需要将$\arcsin x$的数值带回上式。因为具体计算时，$\arccos x$的形式依赖于$\arcsin x$，且常数项$\frac{\pi}{2}$会干扰极限计算中的抵消过程，所以考研时更倾向于考察诸如$\arcsin x$，$\arctan x$这样的纯奇函数。

反三角正切函数

$$ \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots + (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k+1} + o(x^{2k+1}) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}, \quad |x| < 1 $$

幂函数与分式函数

$$ (1+x)^a = 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3 + o(x^3) $$

$$ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n + o(x^n) $$

$\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots + (-1)^n x^n + o(x^n)$

结语

以上就是泰勒公式和我迄今为止发现的考过的（$\arccos x$不算，它是贫道突发奇想查的）所有高等数学题目中使用过的泰勒展开式的全部内容，希望能给后世的学弟学妹们留下一道窥探数学天机的窍门。

最后，看到这里的小友，贫道再送你一句箴言，如果你是一只鹤，你不要去鹤立鸡群，你要去与鹤为伍。

关于我今天体测1000米差点“原地去世”这件事

2026-05-30T10:30:00+00:00

今天，天气晴，宜躺平，忌体测。

但我还是站在了1000米的起跑线上。发令枪响的那一刻，我感觉自己不是去跑步的，是去奔赴一场死劫。

第一圈，我还能假装自己是个运动健将，步伐轻盈（其实并没有），甚至有空看看风景（就TMD看了半圈）；

第三圈，呼吸开始变得急促，喉咙里仿佛被人塞了一把生锈的铁丝球，每一次呼吸都带着血腥味；

最后一圈，我的双腿已经不再属于我，它们只是两根机械摆动的木棍。脑子里只有一个念头：“别走路，别停，只要跑不死，就往死里跑……等等，不对，好像真的会死。”

冲过终点线的那一刻，我直接瘫倒在地。眼前的世界开始旋转，耳边能听到的只有自己粗重的喘息声，每一次呼吸，喉咙都带上了血腥气，连带着横膈膜也在疼，感觉自己像一条被扔上岸缺氧的鱼。

现在的我，躺在床上，感觉灵魂还在操场上没跟回来。体测，一种合法且合理的谋杀。

以后谁再叫我跑一千米，我就把今天的这篇博客甩他脸上。累了，毁灭吧，想骂人了。

体测，fuck you!Son of bitch!

搭建博客：从入门到入土（划掉）到飞升

2026-05-08T01:17:41+00:00

贫道今日心血来潮，欲在互联网这方天地开辟一处洞府（博客）。本以为要经历九九八十一难，未曾想今日运势极佳，竟是一路绿灯。

特以此文记录今日“成道”过程，以供后人瞻仰（或者嘲笑）。

修炼法器准备

俗话说“工欲善其事，必先利其器”。贫道此次选用的乃是 Jekyll 这一大能框架，配合 GitHub Pages 这一云端阵法（你得有个github账号）。

修炼过程

环境搭建 本以为安装 MSYS2 和 Ruby 会像运转“风后奇门”一样困难，结果竟然一路回车，毫无阻碍。看来贫道与这代码一途，确实有些缘分。今大道已成，贫道就稍微透露一点修习法门，请道友按序修习（谅你乱序也库库报错）：

在Windows下配置 安装RubyInstaller（安装Ruby+Devkit安装包，选择推荐版本）

运行下载的安装包，除了选择文件下载位置的地方各位道友需要考虑一下，默认会下到C盘，其他的一路保持默认配置就好。 在macOS下配置 macOS很多版本会自带Ruby，但是Jekyll官方不推荐使用macOS自带的Ruby，原因如下：

（1） 系统Ruby太老了

（2） 系统Ruby缺少一些必要的库

（3） 系统Ruby安装gem默认情况下无法使用

………………………………………………（给的理由还不少)

然后在macOS上安装Ruby：

打开终端，运行如下命令：
```
/bin/bash -c "$(curl -fsSL https://raw.githubusercontent.com/Homebrew/install/HEAD/install.sh)" # 安装工具Homebrew
brew install chruby ruby-install # 安装chruby和ruby-install
ruby-install ruby # 安装Jekyll支持的稳定Ruby，等待命令执行成功
   
echo "source $(brew --prefix)/opt/chruby/share/chruby/chruby.sh" >> ~/.zshrc
echo "source $(brew --prefix)/opt/chruby/share/chruby/auto.sh" >> ~/.zshrc
echo "chruby ruby-3.4.1" >> ~/.zshrc # run 'chruby' to see actual version
# 保证你的终端能自动使用chruby
```
以上命令如有疑问，请查询macOS安装ruby 在Linux下配置 不同发行版使用的安装命令不同，请查询Linux安装ruby等（注：Ubuntu使用者请直接移步此网页最底端，其他Linux用户安装后续操作与Ubuntu安装后操作相同）

安装成功后 打开终端，输入命令验证是否安装成功：
```
ruby -v
gem -v
```
如果报错的话，很大可能是各位道友安装时忘记勾选添加环境变量了。请各位道友把报错信息复制扔给AI，它们会帮你解决的（个人建议多问几个）。

没有报错的话，继续下一步，在终端中运行：
```
gem install jekyll
```
耐心等待命令执行成功。随后还是在终端中运行：
```
jekyll -v
```
来验证我们的框架是否配置成功了。如成功，则各位道友继续往下看。
生成洞府 只需一句咒语：
```
jekyll new myblog
```
这条命令会在你的工作目录下创建一个名为”myblog”的文件夹，不喜欢这个名字可以修改上面的命令中“myblog”那部分。然后终端进入到新建的“myblog”文件夹（请道友实地操作的时候进入你自己创建的文件夹），运行如下命令：
```
bundle exec jekyll serve
```
等待命令执行成功后，进入终端给出的网址（可以按住ctrl，然后鼠标左键网址，就能进入这个本地网站了）
布置阵法 首先，你得在github上创建一个仓库，命名为“你的用户名.github.io”格式，如你的账号用户名是@zhangsan，那么仓库就命名为”zhangsan.github.io”。在博客根目录下运行：
```
git init # 只需要在第一次将网站上传到github仓库上时运行，将这个目录添加到git管理中
git add . # 将所有目录下经过更改的文件上传到暂存区
git commit -m "写了一篇关于xxx的新文章" # 打包留个记录
git remote add origin https://github.com/你的用户名/你的仓库名.git # 绑定你的 GitHub 仓库地址（把链接换成你自己的，只需要执行一次）
git push -u origin main # 推送代码到远程仓库的main分支（第一次用这个，以后推送新博客可以替换成git push）
```
运行完上面的命令且没有报错后，按照下面的方法让阵法长久运转：
1. 进入仓库 登录 GitHub，点进你刚才创建并上传的那个博客仓库。
2. 找到“设置” 在仓库页面的顶部导航栏里，找到并点击Settings。
3. 找到“Pages”选项 在左侧的菜单栏里，往下翻，找到 Pages 这一项，点击它。
4. 配置“电源” 在右侧的主界面中，找到 Build and deployment 部分。
  
  Source：保持默认（GitHub Actions 或 Deploy from a branch 都可以，默认通常是 Branch）。
  
  Branch：点击下拉菜单，选择 main（或者是 master，看你本地分支叫啥）。
  
  Folder：保持 / (root) 不变。
  
  点击“保存”
  
  点击 Save 按钮。
5. 等待部署 点击保存后，页面顶部可能会出现一个正在运行的进度条。等待大概 1-2 分钟，刷新一下这个页面。你会看到一行字：
  
  Your site is live at https://你的用户名.github.io/你的仓库名/
  
  点击这个链接，你的博客就正式面世了！
  
  修炼心得
今日方知，只要路子选得对，Bug 也是能绕道走的。既然洞府已建成，往后贫道便在此处闭关修炼。无论是代码上的疑难杂症，还是生活里的碎碎念，皆会记录于此。各位道友，人世纷乱，出入平安。有缘再见！

三清道人的小窝

猫娘小玄的日记（二）

小玄的雨天日记（二）

猫娘小玄的日记（一）

小玄的雨天日记

考研数学个人笔记（二）——有理分式（高等数学）

有理分式

有理分式的拆分

若$n>m$，即$R(x)$是真分式

结语

考研数学个人笔记（一）——泰勒公式（高等数学）

泰勒公式

拉格朗日型余项（Lagrange Remainder）

皮阿诺型余项（Peano Remainder）

拉格朗日型余项（Lagrange Remainder）

皮阿诺型余项（Peano Remainder）

常用泰勒展开式

指数函数

对数函数

三角正弦函数

三角余弦函数

三角正切函数

反三角正弦函数

反三角余弦函数

反三角正切函数

幂函数与分式函数

结语

关于我今天体测1000米差点“原地去世”这件事

搭建博客：从入门到入土（划掉）到飞升

修炼法器准备

修炼过程

修炼心得