傅里叶级数是数一专属考点，数二、数三不考。它和幂级数一样，都是“用简单函数拼复杂函数”，只不过幂级数用的是$x^n$，傅里叶级数用的是$\sin nx$和$\cos nx$。幂级数要求函数足够光滑，傅里叶级数的条件宽松得多，所以它特别适合处理周期函数和分段函数。

数一大纲的要求是：了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理；会将定义在$[-l,l]$上的函数展开为傅里叶级数；会将定义在$[0,l]$上的函数展开为正弦级数与余弦级数；会写出傅里叶级数的和函数表达式。

这一篇按这个范围整理。重点不是背一堆公式，而是搞清楚三件事：系数怎么算、级数收敛到什么、半区间展开时到底该做奇延拓还是偶延拓。

一、三角函数系的正交性

傅里叶系数不是凭空冒出来的，它来自三角函数系的正交性。在$[-\pi,\pi]$上，函数族

$$ \lbrace 1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,\cdots\rbrace $$

有一个很好用的性质：任意两个不同的函数相乘，在一个周期上的积分为$0$；同一个函数自己乘自己，积分不为$0$。

具体来说，对非负整数$m,n$，有

$$ \int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\,dx=0\quad(n\ge1), $$

$$ \int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\,dx=0\quad(n\ge1), $$

$$ \int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\cos mx\,dx= \begin{cases} 0,&n\ne m,\\ \pi,&n=m\ge1, \end{cases} $$

$$ \int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\sin mx\,dx= \begin{cases} 0,&n\ne m,\\ \pi,&n=m\ge1, \end{cases} $$

$$ \int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\sin mx\,dx=0. $$

另外，常数函数$1$与$\cos nx$、$\sin nx$也都正交，而

$$ \int_{-\pi}^{\pi}1^2\,dx=2\pi. $$

这些积分就是傅里叶系数公式的来源：把级数两边同乘某个三角函数，再在一个周期上积分，利用正交性把其他项全部消掉，只剩你要找的那一项。

二、周期为$2\pi$的傅里叶级数

设$f(x)$以$2\pi$为周期，在$[-\pi,\pi]$上可积。如果$f$只在$[-\pi,\pi]$上给出，就先把它周期延拓到整个实轴，再谈傅里叶级数。它的傅里叶级数写成

$$ f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right), $$

其中

$$ a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx,\quad n=0,1,2,\cdots, $$

$$ b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx,\quad n=1,2,\cdots. $$

这里的“$\sim$”表示形式上的展开，暂时不保证级数一定收敛到$f(x)$。能不能把“$\sim$”写成“$=$”，要看后面的狄利克雷定理。

常数项是$\frac{a_0}{2}$，不是$a_0$。这样写是为了让$a_0$也能套用同一个积分公式，不然它前面得单独配一个$\frac{1}{2\pi}$。

从平均值角度看，$\frac{a_0}{2}$就是$f(x)$在一个周期上的平均值：

$$ \frac{a_0}{2}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx. $$

所以傅里叶级数可以理解成“用一个平均值，加上一堆不同频率的正弦、余弦去逼近原函数”。

如果$f(x)$是奇函数，那么$f(x)\cos nx$是奇函数，$a_n=0$，级数只剩正弦项；如果$f(x)$是偶函数，那么$f(x)\sin nx$是奇函数，$b_n=0$，级数只剩余弦项。这个性质能省掉一半积分。

三、狄利克雷收敛定理

狄利克雷定理是这一章最重要的结论。它回答的是：傅里叶级数到底收敛到什么？

设$f(x)$以$2\pi$为周期，并且在一个周期内满足：

$f(x)$连续，或只有有限个第一类间断点；
$f(x)$只有有限个极值点。

那么$f(x)$的傅里叶级数在$(-\infty,+\infty)$上处处收敛。记它的和函数为$S(x)$，则$S(x)$也以$2\pi$为周期，且

$$ S(x)= \begin{cases} f(x),&x\text{为}f(x)\text{的连续点},\\[4pt] \dfrac{f(x-0)+f(x+0)}{2},&x\text{为}f(x)\text{的间断点},\\[10pt] \dfrac{f(-\pi+0)+f(\pi-0)}{2},&x=\pm\pi. \end{cases} $$

这里$f(x-0)$和$f(x+0)$分别表示$f$在$x$处的左极限和右极限。第一类间断点就是左右极限都存在且有限的间断点，可去间断点和跳跃间断点都属于这一类。

如果周期是$2l$，端点处的公式改成

$$ S(\pm l)=\frac{f(-l+0)+f(l-0)}{2}. $$

$S(x)$是傅里叶级数的和函数，不是原函数$f(x)$。在连续点两者相等，在间断点和端点处不一定相等。

为什么间断点要取左右极限的平均？因为傅里叶系数只由函数在一个周期上的积分决定，改变函数在有限个点的值，不会改变任何系数，也不会改变$S(x)$。所以$S(x)$在间断点只能收敛到左右极限的平均值，而不是$f$在该点随便定义的那个值。

在跳跃间断点附近，部分和会出现来回过冲，这叫$\mathrm{Gibbs}$现象。过冲不会改变狄利克雷定理给出的收敛值，考研只需要知道“收敛到中点”即可。

狄利克雷条件是充分条件，不是必要条件。也就是说，满足它一定收敛；不满足它，级数也可能收敛，只是考研题基本都会让你用这个定理。

求$S(x_0)$的步骤

遇到“给一个傅里叶级数，问它在某点收敛到多少”的题，按下面四步走：

看级数形式：只有正弦项，说明是奇延拓；只有余弦项，说明是偶延拓；同时确定周期。
用周期性和奇偶性，把$x_0$移到基本区间内。
判断平移后的点是连续点、间断点，还是端点。
按狄利克雷定理取$f(x)$或左右极限的平均值。

最容易错的地方是第$2$步：拿到$x_0$直接往原函数里代，忘了先利用周期和奇偶性平移。

四、周期为$2l$的傅里叶级数

考研真题里，周期不一定是$2\pi$。比如题目说“以$2$为周期”，那就有$2l=2$，即$l=1$。

设$f(x)$以$2l$为周期，在$[-l,l]$上可积，则

$$ f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right), $$

其中

$$ a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx,\quad n=0,1,2,\cdots, $$

$$ b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx,\quad n=1,2,\cdots. $$

把$l=\pi$代回去，就得到周期为$2\pi$的公式。所以周期$2l$的公式是更一般的形式，考试里看到$\sin n\pi x$、$\cos n\pi x$，往往就是$l=1$。

五、正弦级数与余弦级数

如果$f(x)$只定义在$[0,l]$上，它本身没有奇偶性。但我们可以人为地把它延拓到$[-l,l]$上，再作周期延拓：

奇延拓：得到奇函数，展开后只有正弦项，叫正弦级数；
偶延拓：得到偶函数，展开后只有余弦项，叫余弦级数。

所以“展开为正弦级数”还是“展开为余弦级数”，不是原函数的性质，而是你选择的延拓方式。

正弦级数

对$f(x)$在$[0,l]$上作奇延拓，得到

$$ f(x)\sim\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin\frac{n\pi x}{l}, $$

其中

$$ b_n=\frac{2}{l}\int_0^l f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx,\quad n=1,2,\cdots. $$

此时$a_n=0$，包括$a_0=0$。

正弦级数在$x=0$和$x=l$处，每一项$\sin\frac{n\pi x}{l}$都等于$0$，所以

$$ S(0)=S(l)=0. $$

如果原函数在端点不为$0$，正弦级数不可能在端点等于原函数，它收敛到的是奇延拓后左右极限的平均值。

余弦级数

对$f(x)$在$[0,l]$上作偶延拓，得到

$$ f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\frac{n\pi x}{l}, $$

其中

$$ a_n=\frac{2}{l}\int_0^l f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx,\quad n=0,1,2,\cdots. $$

此时$b_n=0$。余弦级数在端点处收敛到$f(0+)$和$f(l-)$（只要这些单侧极限存在）。

半区间的系数前面是$\frac{2}{l}$，不是$\frac{1}{l}$。因为奇延拓或偶延拓后，被积函数在$[-l,l]$上是偶函数，积分值正好是$[0,l]$上的两倍。这是半区间展开最容易丢分的地方。

六、常考题型与例题

数一里傅里叶级数主要有四种问法：

给级数形式，求$S(x_0)$；
给$f(x)$，求它的傅里叶级数；
在$[0,l]$上展开为正弦级数或余弦级数；
利用展开式求某个数项级数的和。

下面三道题分别对应其中的求和函数值、全区间展开、半区间展开。

例$1$：用狄利克雷定理求和函数值

这是$2025$年数一第$12$题的考法。

设

$$ f(x)= \begin{cases} 0,&0\le x<\dfrac{1}{2},\\[8pt] x^2,&\dfrac{1}{2}\le x\le1, \end{cases} $$

其傅里叶级数为

$$ \sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin n\pi x, $$

$S(x)$为该级数的和函数，求$S\left(-\dfrac{7}{2}\right)$。

解：

级数里只有$\sin n\pi x$，没有常数项和余弦项，所以它是$f(x)$在$[0,1]$上的正弦级数，对应奇延拓，周期为$2$。因此$S(x)$是周期为$2$的奇函数。

先利用周期性，把$-\dfrac{7}{2}$移进基本区间：

$$ S\left(-\frac{7}{2}\right) =S\left(-\frac{7}{2}+4\right) =S\left(\frac{1}{2}\right). $$

在$x=\dfrac{1}{2}$处，$f(x)$有跳跃：

$$ f\left(\frac{1}{2}-0\right)=0,\qquad f\left(\frac{1}{2}+0\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}. $$

由狄利克雷定理，

$$ S\left(\frac{1}{2}\right) =\frac{f\left(\frac{1}{2}-0\right)+f\left(\frac{1}{2}+0\right)}{2} =\frac{0+\frac{1}{4}}{2} =\frac{1}{8}. $$

所以

$$ \boxed{S\left(-\frac{7}{2}\right)=\frac{1}{8}}. $$

这道题的关键不是算系数，而是先认出“正弦级数对应奇延拓，周期为$2$”，再用周期性平移，最后在跳跃点取左右极限平均。

例$2$：全区间展开与数项级数求和

将$f(x)=x$在$(-\pi,\pi)$上展开为傅里叶级数，并求

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2n-1}. $$

解：

$f(x)=x$是奇函数，所以

$$ a_n=0\quad(n=0,1,2,\cdots), $$

只需要算$b_n$：

$$ b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin nx\,dx =\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}x\sin nx\,dx. $$

先算不定积分：

$$ \int x\sin nx\,dx =-\frac{x\cos nx}{n}+\frac{\sin nx}{n^2}. $$

代入$0$和$\pi$：

$$ \int_0^{\pi}x\sin nx\,dx =\left[-\frac{x\cos nx}{n}+\frac{\sin nx}{n^2}\right]_0^{\pi} =-\frac{\pi\cos n\pi}{n} =\frac{\pi(-1)^{n+1}}{n}. $$

所以

$$ b_n=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi(-1)^{n+1}}{n} =\frac{2(-1)^{n+1}}{n}. $$

因此

$$ x\sim2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin nx, \qquad -\pi

在$x=\dfrac{\pi}{2}$处，$f(x)=x$连续，狄利克雷定理给出

$$ S\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}. $$

代入展开式：

$$ \frac{\pi}{2} =2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin\frac{n\pi}{2}. $$

当$n$为偶数时，$\sin\dfrac{n\pi}{2}=0$；当$n=2k-1$时，

$$ \sin\frac{(2k-1)\pi}{2}=(-1)^{k-1}. $$

所以

$$ \frac{\pi}{2} =2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{2k}}{2k-1}(-1)^{k-1} =2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}. $$

于是

$$ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1} =\frac{\pi}{4}. $$

也就是

$$ \boxed{1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots=\frac{\pi}{4}}. $$

顺便注意端点：在$x=\pi$处，级数每一项$\sin n\pi=0$，所以$S(\pi)=0$，而$f$在端点的左右极限平均也是$\dfrac{-\pi+\pi}{2}=0$，与狄利克雷定理一致，但它不等于左极限$f(\pi-0)=\pi$。

例$3$：半区间余弦展开与数项级数求和

将$f(x)=x$在$[0,\pi]$上展开为余弦级数，并求

$$ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k-1)^2}. $$

解：

余弦级数对应偶延拓，所以$b_n=0$。先算$a_0$：

$$ a_0=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}x\,dx =\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi^2}{2} =\pi. $$

再算$a_n$：

$$ a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}x\cos nx\,dx. $$

先算不定积分：

$$ \int x\cos nx\,dx =\frac{x\sin nx}{n}+\frac{\cos nx}{n^2}. $$

代入$0$和$\pi$：

$$ \int_0^{\pi}x\cos nx\,dx =\left[\frac{x\sin nx}{n}+\frac{\cos nx}{n^2}\right]_0^{\pi} =\frac{(-1)^n-1}{n^2}. $$

所以

$$ a_n=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{(-1)^n-1}{n^2}. $$

当$n$为偶数时，$(-1)^n-1=0$，所以$a_{2k}=0$；当$n=2k-1$时，

$$ a_{2k-1} =\frac{2}{\pi}\cdot\frac{-2}{(2k-1)^2} =-\frac{4}{\pi(2k-1)^2}. $$

因此

$$ x\sim\frac{\pi}{2} -\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos(2k-1)x}{(2k-1)^2}, \qquad 0\le x\le\pi. $$

在$x=0$处，偶延拓后的函数连续，且$f(0)=0$，所以$S(0)=0$。代入上式：

$$ 0=\frac{\pi}{2} -\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k-1)^2}. $$

移项得

$$ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k-1)^2} =\frac{\pi^2}{8}. $$

即

$$ \boxed{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{8}}. $$

例$2$和例$3$用的是同一个$f(x)=x$，但例$2$是在$(-\pi,\pi)$上作奇延拓，例$3$是在$[0,\pi]$上作偶延拓，偶延拓在$[-\pi,\pi]$上相当于$\lvert x\rvert$。同一个函数在$[0,\pi]$上可以有不同的傅里叶展开，差别来自延拓方式，不来自函数本身。

七、拓展：贝塞尔不等式与帕塞瓦尔等式

下面两个结论数一不常直接考，但能解释“傅里叶系数为什么越来越小”，也能把傅里叶级数和能量联系起来。

仍设

$$ f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right). $$

则对平方可积的$f$，有贝塞尔不等式

$$ \frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n^2+b_n^2\right) \le\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f^2(x)\,dx. $$

如果傅里叶级数在平方平均意义下收敛于$f$，则取等号，得到帕塞瓦尔等式

$$ \frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n^2+b_n^2\right) =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f^2(x)\,dx. $$

从这两个式子可以看出，$\sum(a_n^2+b_n^2)$收敛，所以$a_n$、$b_n$必须趋于$0$。这也是为什么高频项的系数通常会越来越小。

八、易错点

常数项写成$a_0$。傅里叶级数的常数项是$\dfrac{a_0}{2}$，不是$a_0$。
周期不是$2\pi$时忘了$l$。看到$\sin n\pi x$、$\cos n\pi x$，先想$l=1$；看到$\sin\dfrac{n\pi x}{l}$，再套一般公式。
半区间系数忘了乘$2$。正弦、余弦级数的系数前面是$\dfrac{2}{l}$，不是$\dfrac{1}{l}$。
求$S(x_0)$忘记先平移。先用周期性和奇偶性把$x_0$移进基本区间，再判断点的类型。
在间断点直接代入$f(x_0)$。间断点要取左右极限平均，端点也要取平均。
把“函数在$[0,l]$上的奇偶性”和“延拓后的奇偶性”混为一谈。$[0,l]$上的函数本身没有奇偶性，是延拓方式决定了正弦级数还是余弦级数。
忘记正弦级数在端点的值。正弦级数在$x=0$和$x=l$处一定收敛到$0$，不要直接写$f(0)$或$f(l)$。
把狄利克雷条件当成必要条件。它只是充分条件；不满足也可能收敛，但考研题通常按它判断。