​ 众所周知，有理分式分解是高等数学中解有理分式积分的一大法门。但是很多人还是无法理解这其中的窍门和原理，导致找不到解题的正确步骤，今夜贫道夜观天象，发现星空中有一丝天道之力，指引着贫道留下这份大道指引（算了，我编不下去了，你们还是往下看吧，好东西都在下面）。

有理分式

​ 即形如

$$ R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} $$

的函数，其中$P(x)$，$Q(x)$均为多项式，且$Q(x)$不为零。

有理分式的拆分

​ 记$P(x)$的最高次项的次数为$m$，$Q(x)$的最高次项的次数为$n$。

若$n<m$，即$R(x)$是假分式，则先用多项式除法将$R(x)$化为真分式

例：

$$ R(x) = \frac{x^3 + 2x^2 + 3x + 4}{x^2 + 1} $$

化简：

第一步：首项除以首项 用分子的最高次项$x^3$除以分母的最高次项$x^2$，得到商的第一项：$x$。 将$x$乘回整个分母$(x^2 + 1)$，得到$(x^3 + x)$。然后在分子里把它减掉，即：

$$ (x^3 + 2x^2 + 3x + 4) - (x^3 + x) = 2x^2 + 2x + 4 $$

结果作为新的分子。

第二步：继续上述步骤 用新的分子的最高次项$2x^2$除以分母的最高次项$x^2$，得到商的第二项：$2$。 将$2$乘回分母，得到$(2x^2 + 2)$。然后在新的分子里把它减掉，即：

$$ (2x^2 + 2x + 4) - (2x^2 + 2) = 2x + 2 $$

结果作为新的分子。

由于此时，分式中分子的最高次项的次数已经低于分母的最高次项的次数了，多项式除法结束。得到结果：

$$ R(x) = \frac{2x + 2}{x^2 + 1} + (x+ 2) $$

其中，$(x + 2)$是有理分式的整式部分，这一部分积分的时候直接按照初等函数积分公式积分就行；$\frac{2x + 2}{x^2 + 1}$是我们需要进一步处理的真分式部分。

若$n>m$，即$R(x)$是真分式

$(1)\quad$先将$Q(x)$分解到实数范围内不可约因式，即

$$ \begin{cases} \text{一次因式：} & x - a \quad (a \in \mathbb{R}) \\ \text{二次不可约因式：} & x^2 + bx + c \quad (\Delta < 0) \end{cases} $$

技巧： ​ $1$、求根法（$\Delta$或因式分解） ​ $2$、平方差公式，完全平方公式等

$(2)\quad$再根据每个因式的类型，写出对应的待定分数形式，规则如下：

$1$、一次因式：

$$ \begin{cases} \text{单因式：} & x - a \rightarrow \frac{A}{x - a} \\ \text{重因式：} & (x - a)^n \rightarrow \frac{A_1}{x - a} + \frac{A_2}{(x - a)^2} + \cdots + \frac{A_n}{(x - a)^n} \end{cases} $$

$2$、二次不可约因式：

$$ \begin{cases} \text{单因式：} & x^2 +bx +c \rightarrow \frac{Ax + B}{x^2 + bx + c} \\ \text{重因式：} & (x^2 +bx + c)^n \rightarrow \frac{A_1x + B}{x^2 + bx + c} + \frac{A_2x + B_2}{(x^2 + bx + c)^2} + \cdots + \frac{A_nx + B_n}{(x^2 + bx + c)^n} \end{cases} $$

$(3\quad)$最后，对待定分数之和通分，令分子相等，解方程得待定系数。

例：拆分分式：

$$ \frac{3x + 2}{x^2 - x - 6} $$

因为分母$x^2 - x -6 = (x - 3)(x + 2)$ 所以有

$$ \text{原式} = \frac{3x + 2}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 2} = \frac{A(x + 2) + B(x - 3)}{(x - 3)(x + 2)} $$

所以

$$ 3x + 2 = (A + B)x +2A - 3B $$

即

$$ \begin{cases} A + B = 3\\ 2A - 3B = 2 \end{cases} $$

所以

$$ \begin{cases} A = \frac{11}{5}\\ B = \frac{4}{5} \end{cases} $$

由此可得

$$ \text{原式} = \frac{11}{5(x - 3)} + \frac{4}{5(x + 2)} $$

最后对结果按照题目要求进行下一步计算即可，本例只要求分解因式。

结语

​ 考研就像爬泰山，一旦决定踏上这条路，就无法回头。爬泰山爬到十八盘了，你爬不动下去了，丢不丢人？ ​ 所以，考研也好，还是干什么别的也罢，慢慢走，会很快。