考研数学个人笔记（三）——随机变量基础（概率论与数理统计）
众所周知，概率论与数理统计一直是考研数学中折磨广大学子的一大难项。喂，考数二的那几位，别看了，没说你们，数二不考概率论（至少26年12月的27考研不考）。今天，贫道就为大家带来概率论这一部分的基础——随机变量以及相关的基础内容。内容很多，请各位道友耐心观看，看到一半看不下去了就去喝喝茶，上个厕所也行。
来，把背打直认真听，啊。
随机变量
定义
设E的样本空间为 $\Omega$，对于每一个样本点 $\omega \in \Omega$，都有唯一的实数 $X(\omega)$ 与之对应，且对于任意实数x，事件${ \omega \mid X(\omega) \leq x }$ 都有确定的概率 $P{ \omega \mid X(\omega) \leq x }$ 与之对应，则称 $X(\omega)$ 为随机变量。
按照随机变量的取值是有限或可数无穷，还是随机变量取值散布在一个区间内，可分为离散型随机变量和连续型随机变量。
分布函数（CDF）
公式
性质
$1$、单调不减
$2$、右连续
$3$、$F(-\infty) = 0, F(+\infty) = 1$
离散型随机变量
特点
取值是有限个或可列无穷多个（如抛硬币的正面/反面，射箭命中的环数）。
分布律（PMF）
$P\{ X = x_k \} = p_k, k = 1,2,\dots$ （满足 $\Sigma p_k = 1$，$p_k \geq 0$）
分布函数
期望
方差
连续型随机变量
特点
取值充满一个区间，无法一一列举。任意一点的取值的概率都是 0，即： $P\{X = a\} = 0$
概率密度（PDF）
$f(x)$，满足 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1$，$f(x) \geq 0$
分布函数
其中$F’(x) = f(x)$
期望
方差
常用离散型随机变量
0-1分布（$X \sim B(1 , p)$）
定义
单次伯努利实验中，一个事件发生的概率。（伯努利实验：在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是该随机试验只有两种可能结果：发生或者不发生。）
分布律$P(X = k)$
分布函数$F(x)$
阶梯函数（不是Sigmoid函数）：
期望
方差
二项分布（$X \sim B(n , p)$）
定义
描述了一系列独立重复伯努利试验的成功次数的概率分布。
分布律$P(X = k)$
分布函数$F(x)$
期望
方差
特殊性质
当$n = 1$时，退化为0-1分布。
当$n$很大，$p$很小的时候，$np = \lambda$，则近似为泊松分布。
泊松分布（$X \sim P(\lambda)$）
定义
描述单位时间或单位空间内稀有事件发生的次数。
分布律$P(X = k)$
分布函数$F(x)$
期望
方差
特殊性质
当$\lambda$较大时，近似于正态分布
期望与方差相等，选择题常用。
几何分布
定义
描述在一系列独立的伯努利试验中，直到第一次成功所需的试验次数。
分布律$P(X = k)$
即在失败（$1 - p$）发生$k - 1$次后成功一次
分布函数$F(x)$
期望
方差
特殊性质
无记忆性： $P(X \ge m + n \mid X \ge m) = P(X \ge n)$
常用连续型随机变量
均匀分布（$X \sim U(a , b)$）
定义
描述在一定区间内所有值出现概率均等的情况。
概率密度$f(x)$
分布函数$F(x)$
期望
方差
指数分布（$X \sim E(\lambda)$）
定义
用于描述独立随机事件发生的时间间隔。
概率密度$f(x)$
分布函数$F(x)$
期望
方差
正态分布（$X \sim N(\mu , \sigma^2)$）
定义
又称为常态分布或高斯分布，在现实世界中，许多自然和社会现象如考试成绩和人体身高等，都近似遵循正态分布。
概率密度$f(x)$
分布函数$F(x)$
但是，可但是，但可是，考研的时候绝对不可能考你这个公式的计算，因为正态分布的概率密度$f(x)$的原函数不是初等函数，不能用指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等初等函数表示，所以我们可以不记这个东西。
期望
方差
特殊性质
正态分布的曲线关于$x = \mu$曲线对称。
标准正态分布的$3\sigma$原则（约等于的值按照题目要求或试卷要求找）：
（1）$P(\lvert X - \mu \rvert \le \sigma) =P(\mu + \sigma \le X \le \mu + \sigma) = \Phi(1) - \Phi(-1) \approx 0.6827$
（2）$P(\lvert X - \mu \rvert \le 2\sigma) = P(\mu + 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma) = \Phi(2) - \Phi(-2) \approx 0.9545$
（3）$P(\lvert X - \mu \rvert \le 3\sigma) = P(\mu + 3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma) = \Phi(3) - \Phi(-3) \approx 0.9973$
标准正态分布（$X \sim N(0 , 1)$）
概率密度：$\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$
分布函数：$\Phi(x) = \int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}\, dt$
标准化公式（任何正态分布转换成标准正态分布）：
若$X \sim N(\mu , \sigma^2)$，则令$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，必有$Z \sim N(0 , 1)$。
性质：
（1）对称性：$\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$
（2）中点值：$\Phi(0) = 0.5$
