​ 众所周知，概率论与数理统计一直是考研数学中折磨广大学子的一大难项。喂，考数二的那几位，别看了，没说你们，数二不考概率论（至少$26$年$12$月的$27$考研不考）。今天，贫道就为大家带来概率论这一部分的基础——随机变量以及相关的基础内容。内容很多，请各位道友耐心观看，看到一半看不下去了就去喝喝茶，上个厕所也行。

​ 来，把背打直认真听，啊。

随机变量

定义

​ 设$E$的样本空间为$\Omega$，对于每一个样本点$\omega \in \Omega$，都有唯一的实数$X(\omega)$与之对应，且对于任意实数$x$，事件$\lbrace \omega \mid X(\omega) \leq x \rbrace$都有确定的概率$P\lbrace \omega \mid X(\omega) \leq x \rbrace$与之对应，则称$X(\omega)$为随机变量。

​ 按照随机变量的取值是有限或可数无穷，还是随机变量取值散布在一个区间内，可分为离散型随机变量和连续型随机变量。

分布函数（$\mathrm{CDF}$）

公式

$$ F(x) = P\{ X \leq x\}, x \in (-\infty, +\infty) $$

性质

​ $1$、单调不减

​ $2$、右连续

​ $3$、$F(-\infty) = 0, F(+\infty) = 1$

离散型随机变量

特点

​ 取值是有限个或可列无穷多个（如抛硬币的正面/反面，射箭命中的环数）。

分布律（$\mathrm{PMF}$）

$$ P\{ X = x_k \} = p_k, k = 1,2,\dots $$

（满足$\Sigma p_k = 1$，$p_k \geq 0$）

分布函数

$$ F(x) = \Sigma_{x_k \leq x}p_k $$

期望

$$ E(X) = \Sigma_kx_kp_k $$

方差

$$ \begin{aligned} D(X) &= \Sigma_k(x_k - E(X))^2 \\ &= E(X^2) - [E(X)]^2 \end{aligned} $$

连续型随机变量

特点

​ 取值充满一个区间，无法一一列举。任意一点的取值的概率都是$0$，即：

$$ P\{X = a\} = 0 $$

概率密度（$\mathrm{PDF}$）

​ $f(x)$，满足$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1$，$f(x) \geq 0$

分布函数

$$ F(x) = \int_{-\infty}^xf(t)dt $$

​ 其中$F^\prime(x) = f(x)$

期望

$$ E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx $$

方差

$$ \begin{aligned} D(X) &= \int_{-\infty}^{+\infty}(x - E(X))^2f(x)dx \\ &= E(X^2) - [E(X)]^2 \end{aligned} $$

常用离散型随机变量

$0\text{-}1$分布（$X \sim B(1 , p)$）

定义

​ 单次伯努利实验中，一个事件发生的概率。（伯努利实验：在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是该随机试验只有两种可能结果：发生或者不发生。）

分布律$P(X = k)$

$$ p^k(1 - p)^{1 - k},\quad k = 0,1 $$

分布函数$F(x)$

​ 阶梯函数（不是$\mathrm{Sigmoid}$函数）：

$$ F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1 - p, & 0 \leq x < 1 \\ 1, & x \geq 1 \end{cases} $$

期望

$$ E(X) = p $$

方差

$$ D(X) = p(1 - p) $$

二项分布（$X \sim B(n , p)$）

定义

​ 描述了一系列独立重复伯努利试验的成功次数的概率分布。

分布律$P(X = k)$

$$ C_n^kp^k(1 - p)^{n - k},\quad k = 0,1,\dots,n $$

分布函数$F(x)$

$$ F(x) = \Sigma_{k = 0}^{[x]}C_n^kp^k(1 - p)^{n - k} $$

期望

$$ E(X) = np $$

方差

$$ D(X) = np(1 - p) $$

特殊性质

​ 当$n = 1$时，退化为$0\text{-}1$分布。

​ 当$n$很大，$p$很小的时候，$np = \lambda$，则近似为泊松分布。

洞府主人の碎碎念

​ 考试的时候会问你二项分布中某一件事最可能成功的次数，即二项分布的众数：

​ 若$(n + 1)p$是整数，则最可能次数有两个：$k_0 = (n + 1)p$和$k_0 = (n + 1)p - 1$。若$(n + 1)p$不是整数，则最可能次数为$k_0 = \lfloor (n + 1)p \rfloor$

泊松分布（$X \sim P(\lambda)$）

定义

​ 描述单位时间或单位空间内稀有事件发生的次数。

分布律$P(X = k)$

$$ \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\quad k = 0,1,2,\dots $$

分布函数$F(x)$

$$ F(x) = e^{-\lambda}\Sigma_{k = 0}^{[x]}\frac{\lambda^k}{k!} $$

期望

$$ E(X) = \lambda $$

方差

$$ D(X) = \lambda $$

特殊性质

​ 当$\lambda$较大时，近似于正态分布

​ 期望与方差相等，选择题常用。

特殊值处的分布函数：

$$ P\{X = 0\} = e^{-\lambda} \\ P\{X \geq 1\} = 1 - P\{X = 0\} = 1 - e^{-\lambda} $$

几何分布

定义

​ 描述在一系列独立的伯努利试验中，直到第一次成功所需的试验次数。

分布律$P(X = k)$

$$ p(1 - p)^{k - 1} $$

​ 即在失败（$1 - p$）发生$k - 1$次后成功一次

分布函数$F(x)$

$$ F(x) = \begin{cases} 0, & x < 1 \\ 1 - (1-p)^{\lfloor x \rfloor}, & x \ge 1 \end{cases} $$

期望

$$ E(X) = \frac{1}{p} $$

方差

$$ D(X) = \frac{1 - p}{p ^ 2} $$

特殊性质

​ 尾概率：

$$ P\{X > m\} = (1 - p)^m $$

​ 无记忆性：

$$ P(X > m + n \mid X > m) = P(X > n) $$

常用连续型随机变量

均匀分布（$X \sim U(a , b)$）

定义

​ 描述在一定区间内所有值出现概率均等的情况。

概率密度$f(x)$

$$ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b - a}, & a \le x \le b \\\\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$

分布函数$F(x)$

$$ F(x) = \begin{cases} 0, & x \leq a \\\\ \frac{x - a}{b - a}, & a \le x \le b \\\\ 1, & x \geq b \end{cases} $$

期望

$$ E(X) = \frac{a + b}{2} $$

方差

$$ D(X) = \frac{(b - a)^2}{12} $$

特殊性质

​ 区间概率直接测长度：

$$ P\{c \le X \le d\} = \frac{d - c}{b - a} $$

指数分布（$X \sim E(\lambda)$）

定义

​ 用于描述独立随机事件发生的时间间隔。

概率密度$f(x)$

$$ f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x \ge 0\\\\ 0, & x \leq 0 \end{cases} $$

分布函数$F(x)$

$$ F(x) = \begin{cases} 1 - e^{-\lambda x}, & x \geq 0 \\\\ 0, & x < 0 \end{cases} $$

期望

$$ E(X) = \frac{1}{\lambda} $$

方差

$$ D(X) = \frac{1}{\lambda^2} $$

特殊性质

​ 算了我也不知道这个式子叫什么名反正记住就行：

$$ P\{X \ge t\} = e^{-\lambda t} \\ P\{X \leq t\} = 1 - e^{-\lambda t} $$

正态分布（$X \sim N(\mu , \sigma^2)$）

定义

​ 又称为常态分布或高斯分布，在现实世界中，许多自然和社会现象如考试成绩和人体身高等，都近似遵循正态分布。

概率密度$f(x)$

$$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} $$

分布函数$F(x)$

$$ F(x) = P\{X \leq x\} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{(t - \mu)^2}{2\sigma^2}}\, dt $$

​ 但是，可但是，但可是，考研的时候绝对不可能考你这个公式的计算，因为正态分布的概率密度$f(x)$的原函数不是初等函数，不能用指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等初等函数表示，所以我们可以不记这个东西。

期望

$$ E(X) = \mu $$

方差

$$ D(X) = \sigma^2 $$

特殊性质

​ 正态分布的曲线关于直线$x = \mu$对称。

​ 设正态分布$X_1 \sim N(\mu_1 , \sigma_1^2)$，$X_2 \sim N(\mu_2 , \sigma_2^2)$相互独立，则它们的线性组合依然服从正态分布：

$$ aX_1 + bX_2 \sim N(a\mu_1 + b\mu_2 , a^2\sigma_1^2 + b^2\sigma_2^2) $$

​ 标准正态分布的$3\sigma$原则（约等于的值按照题目要求或试卷要求找）：

​ （$1$）$P(\lvert X - \mu \rvert \le \sigma) =P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma) = \Phi(1) - \Phi(-1) \approx 0.6827$

​ （$2$）$P(\lvert X - \mu \rvert \le 2\sigma) = P(\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma) = \Phi(2) - \Phi(-2) \approx 0.9545$

​ （$3$）$P(\lvert X - \mu \rvert \le 3\sigma) = P(\mu - 3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma) = \Phi(3) - \Phi(-3) \approx 0.9973$

标准正态分布（$X \sim N(0 , 1)$）

概率密度：$\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$

分布函数：$\Phi(x) = \int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}\, dt$

标准化公式（任何正态分布转换成标准正态分布）：

​ 若$X \sim N(\mu , \sigma^2)$，则令$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，必有$Z \sim N(0 , 1)$。

性质：

​ （$1$）对称性：$\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$

​ （$2$）中点值：$\Phi(0) = 0.5$