考研数学个人笔记（五）——凯莱-哈密顿定理应用笔记（线性代数）
欢迎回到线性代数，在矩阵计算中，高次幂、矩阵多项式以及逆矩阵的求解往往伴随大量繁琐运算，尤其当阶数较高时，传统方法（如伴随矩阵法）效率极低。今天，贫道将为大家带来一个简便的方法——凯莱-哈密顿定理。
内容
定理陈述：
设$A$为$n$阶方阵，$f(\lambda)$是$A$的特征多项式，定义为
$$
f(\lambda)=\det(\lambda E - A)=\lambda^n + c_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+c_1\lambda+c_0,
$$
其中$E$为$n$阶单位矩阵。则矩阵$A$满足其特征方程，即
$$
f(A)=A^n + c_{n-1}A^{n-1}+\cdots+c_1 A + c_0 E = \mathbf{0},
$$
这里$\mathbf{0}$表示$n$阶零矩阵。
重要推论：
- 若$c_0\neq 0$（即矩阵可逆），则可由上述方程直接导出
$$
A^{-1} = -\frac{1}{c_0}\left(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\cdots+c_1E\right),
$$
这为求逆矩阵提供了代数方法，避免伴随矩阵的繁琐计算。
核心原理：降次
凯莱-哈密顿定理的核心威力在于：降次。只要知道了矩阵的特征多项式，任何高于等于$n$次的矩阵幂，都能被“降维打击”成$n-1$次以下的组合，从而避免复杂的硬算。
一般解题过程
-
求特征多项式：计算$f(\lambda) = \lvert\lambda E - A\rvert$，得到
$$ f(\lambda)=\lambda^n + c_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+c_1\lambda+c_0. $$ -
写矩阵恒等式：根据定理，把$\lambda$换成$A$，常数项换成常数乘以$E$，得到
$$ A^n + c_{n-1}A^{n-1}+\cdots+c_1A+c_0E=0. $$ -
降次替换（或求逆）：
- 求高次幂：把最高次项（如$A^n$）解出来，表示成低次幂的线性组合，反复代入题目需要的式子中。
- 求逆矩阵：把等式变形，强行提取出公因式$A$，让右边变成$E$的倍数，从而得到$A^{-1}$的表达式。
适用题目类型
- 求矩阵的高次幂（如$A^{10}, A^{100}$）。
- 求矩阵多项式（如$A^3 - 2A^2 + 5E$）。
- 求逆矩阵（特别是高阶矩阵，避免算伴随矩阵）。
- 证明矩阵可逆，或者解与矩阵有关的方程。
例题
【例$1$】$2$阶方阵：求$A^{10}$
已知
$$
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
$$
解：
特征多项式
$$
\lvert\lambda E - A\rvert = (\lambda-1)^2 = \lambda^2 - 2\lambda + 1 = 0.
$$
所以
$$
A^2 - 2A + E = 0 \Rightarrow A^2 = 2A - E.
$$
逐次递推：
$$
A^3 = 2A^2 - A = 2(2A-E) - A = 3A - 2E,
$$
$$
A^4 = 4A - 3E,
$$
找规律：
$$
A^n = nA - (n-1)E.
$$
故
$$
A^{10} = 10A - 9E = \begin{pmatrix} 10 & 10 \\ 0 & 10 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
$$
【例$2$】$3$阶方阵：求$A^3$
已知
$$
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
$$
解：
特征多项式
$$
\lvert\lambda E - A\rvert = (\lambda-2)^3 = \lambda^3 - 6\lambda^2 + 12\lambda - 8 = 0.
$$
所以
$$
A^3 - 6A^2 + 12A - 8E = 0 \Rightarrow A^3 = 6A^2 - 12A + 8E.
$$
先算$A^2$：
$$
A^2 = \begin{pmatrix} 4 & 4 & 1 \\ 0 & 4 & 4 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}.
$$
代入：
$$
\begin{aligned}
A^3 &= 6\begin{pmatrix} 4 & 4 & 1 \\ 0 & 4 & 4 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}
- 12\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
+ 8\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} 24 & 24 & 6 \\ 0 & 24 & 24 \\ 0 & 0 & 24 \end{pmatrix}
- \begin{pmatrix} 24 & 12 & 0 \\ 0 & 24 & 12 \\ 0 & 0 & 24 \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} 8 & 12 & 6 \\ 0 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}.
\end{aligned}
$$
【例$3$】$4$阶方阵：求逆矩阵$A^{-1}$
已知
$$
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
$$
解：
该矩阵为循环位移矩阵，特征多项式：
$$
\lvert\lambda E - A\rvert = \lambda^4 - 1 = 0.
$$
所以
$$
A^4 - E = 0 \Rightarrow A^4 = E.
$$
因为
$$
A \cdot A^3 = E,
$$
根据逆矩阵定义，$A^{-1} = A^3$。直接计算$A^3$（即向左平移三次）：
$$
A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad
A^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
$$
因此
$$
A^{-1} = A^3,
$$
完美避开硬算伴随矩阵。
【例$4$】$5$阶方阵：求逆矩阵$A^{-1}$
已知
$$
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
$$
解：
特征多项式
$$
\lvert\lambda E - A\rvert = (\lambda-1)^5 = \lambda^5 - 5\lambda^4 + 10\lambda^3 - 10\lambda^2 + 5\lambda - 1 = 0.
$$
所以
$$
A^5 - 5A^4 + 10A^3 - 10A^2 + 5A - E = 0.
$$
提取公因式$A$：
$$
A\left(A^4 - 5A^3 + 10A^2 - 10A + 5E\right) = E.
$$
因此
$$
A^{-1} = A^4 - 5A^3 + 10A^2 - 10A + 5E.
$$
（通常这里的$A^2, A^3, A^4$都比较好算，因为它们是上三角移位矩阵，计算量远小于求$5$阶伴随矩阵。）
注意事项
- 常数项必须乘$E$：特征方程里的常数$c$，在矩阵方程里必须变成$cE$，漏写单位阵是常见失分点。
- 求高次幂没有固定公式，找规律：降次后，先算$A^2, A^3$观察是否有等差、等比或二项式规律（如例$1$），千万别死算到$A^{100}$。
- 拆项求逆：只要看到等式右边是$E$的倍数（如$5E$），立刻提取公因式构造$A \cdot (\dots) = E$，再整理系数，逆矩阵便直接写出。
结语
凯莱-哈密顿定理将矩阵运算转化为多项式运算，是处理高阶矩阵幂与逆的“万能钥匙”，熟练掌握其操作流程，可大幅提升解题效率，总比你吭吃瘪肚地算伴随矩阵简便多了，不是吗？就像各位道友找道侣一样，天涯何处无芳草，何必单恋一枝花？遇到合适的，灵魂契合的就简简单单地在一起，何必去苦苦追寻那远在天边，可望而不可即，甚至已经离你远去的所谓白月光呢？
