在线性代数里，判断两个矩阵是否相似，一直是考研数学选择题里的常客。前几篇笔记里，贫道已经带各位道友见识过用行列式、秩、迹、特征值这些”照妖镜”来鉴别相似，也聊过相似对角化这门手艺。可偏偏有这么一类矩阵，特征向量怎么也凑不齐，想把它对角化，门儿都没有。对付这种”冥顽不灵”的家伙，就得请出今天的主角——$Jordan$标准型。这东西平时不常考，可一旦出现，就是专治各种”不能对角化”的硬骨头。虽然贫道也觉得考研不该出这种题来恶心人，但既然它敢出，咱们就得会做。话不多说，先看题目。

先看题目

题目：下列矩阵中，与$A=\begin{pmatrix}1&1&0\0&1&1\0&0&1\end{pmatrix}$相似的是：

$A$、 $\begin{pmatrix}1&1&-1\0&1&1\0&0&1\end{pmatrix}$
$B$、 $\begin{pmatrix}1&0&-1\0&1&1\0&0&1\end{pmatrix}$
$C$、 $\begin{pmatrix}1&1&-1\0&1&0\0&0&1\end{pmatrix}$
$D$、 $\begin{pmatrix}1&0&-1\0&1&0\0&0&1\end{pmatrix}$

相似矩阵的判别方法

判断两个矩阵是否相似，套路其实很固定，按”由易到难”的顺序逐一排查即可：

看行列式：$\lvert A\rvert \neq \lvert B\rvert$，必不相似。
看秩：$r(A)\neq r(B)$，必不相似。
看迹：$\operatorname{tr}(A)\neq \operatorname{tr}(B)$，必不相似。
看特征值：特征值（含重数）不相同，必不相似。
看能否对角化：若两者特征值相同，且都能相似对角化，则两者相似。

以上五招，足以应付绝大多数题目。可偏偏本题里，题干矩阵和四个选项的行列式、秩、迹、特征值全都一样——前四招统统失效，只能硬着头皮去算题干矩阵能不能相似对角化。

从题目出发：算特征值与特征向量

先求题干矩阵$A$的特征值。由特征方程

$$ \lvert \lambda E - A \rvert = \begin{vmatrix} \lambda-1 & -1 & 0 \\ 0 & \lambda-1 & -1 \\ 0 & 0 & \lambda-1 \end{vmatrix} = (\lambda-1)^3, $$

解得特征值$\lambda=1$（三重）。

再把$\lambda=1$代回特征矩阵：

$$ E - A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, $$

这个矩阵的秩为$2$。解齐次方程组$(E-A)x=\mathbf{0}$，只有$3-2=1$个线性无关的解，也就是说，三重根$\lambda=1$只对应一个线性无关的特征向量。特征向量凑不够数，矩阵$A$ 不能相似对角化。

到这儿，常规手段就走到头了。可出题人要的就是这种”缺胳膊少腿”的矩阵。别急，这时候就该$Jordan$标准型登场了。

$Jordan$标准型

什么是$Jordan$块

要理解$Jordan$标准型，得先认识它的组成部分——$Jordan$块。

一个$k$阶的$Jordan$块$J_k(\lambda)$，长得很有规律：主对角线上全是同一个特征值$\lambda$，主对角线的上方（超对角线）全是$1$，其余位置全是$0$：

$$ J_k(\lambda)= \begin{pmatrix} \lambda & 1 & & \\ & \lambda & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda \end{pmatrix}. $$

例如特征值为$\lambda$的$3$阶$Jordan$块：

$$ J_3(\lambda)= \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}. $$

什么是$Jordan$标准型

如果一个矩阵$A$不能对角化，退而求其次，我们仍然能找到一个可逆矩阵$P$，把它变得”几乎对角”：

$$ P^{-1}AP = J. $$

这里的$J$就是$Jordan$标准型，它是由若干个$Jordan$块拼起来的分块对角矩阵。例如：

$$ J= \begin{pmatrix} J_2(2) & & \\ & J_1(2) & \\ & & J_3(5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}. $$

为什么叫”几乎对角”

如果矩阵可对角化，那么它的$Jordan$标准型就是对角矩阵（所有$Jordan$块都是$1\times 1$的，超对角线上全是$0$）。
如果矩阵不可对角化，就会出现大于$1$阶的$Jordan$块。块越大，说明这个矩阵”缺陷”越严重（几何重数比代数重数少得越多）。

那么问题来了：一个给定的矩阵，它的$Jordan$标准型到底由几个块、多大的块拼成呢？下面就是最关键的一步。

如何确定$Jordan$标准型

两个关键数字：代数重数与几何重数

判断$Jordan$块怎么拼，只需要盯住两个数。设$n$阶矩阵的特征值为$\lambda$：

代数重数$m$：特征多项式中$(\lambda-\lambda_0)$的次方数。它决定了该特征值所有$Jordan$块的总大小。
几何重数$g=n-r(\lambda E-A)$：即齐次方程组$(\lambda E-A)x=\mathbf{0}$解空间的维数，也就是线性无关特征向量的个数。它决定了该特征值$Jordan$块的个数。

核心定理

核心定理：对同一个特征值，

$Jordan$块的总个数 $=$几何重数；

所有块的大小之和 $=$代数重数。

实战推演：三重根$\lambda=1$的三种情况

拿本题的三阶矩阵、三重根$\lambda=1$来练手。只需看$r(E-A)$这一个数，就能反推出它长什么样。

情况$A$：$r(E-A)=0$

几何重数$g=3-0=3$，有$3$个块，总大小是$3$，只能拆成三个$1\times 1$的块：

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

（完美对角化。）

情况$B$：$r(E-A)=1$

几何重数$g=3-1=2$，有$2$个块，总大小是$3$，必然是一个$2\times 2$块加一个$1\times 1$块：

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

（左上是$2$阶块，右下角是$1$阶块。）

情况$C$：$r(E-A)=2$

几何重数$g=3-2=1$，只有$1$个块，总大小是$3$，只能是一个$3\times 3$的大块：

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

（此时不可对角化，超对角线上有两个$1$。注意，本题题干的矩阵，正是这种情况！）

口诀：几何重数$=$块的数量；代数重数$=$块的总大小。先定块数，再凑大小！

回到题目：判断矩阵相似

有了$Jordan$标准型这把”判官尺”，相似问题就好办了。

判据：两个矩阵相似的充要条件是——它们有完全相同的$Jordan$标准型（不计块的排列顺序）。

现在回头看最初的题目。题干矩阵的$r(E-A)=2$，属于上面的情况$C$，它的$Jordan$标准型就是一个$3\times 3$的大$Jordan$块。

再逐一验算四个选项，把它们的$r(E-A)$与题干对比：

$A$的$r(E-A)=2$，同样对应一个$3\times 3$的大$Jordan$块，”内部结构”与题干一模一样；
$B$、$C$、$D$的$r(E-A)$都等于$1$，对应的是”$2+1$”的结构，与题干不同，自然不相似。

所以答案选$A$。

结语

$Jordan$标准型，就像给一个”长得歪瓜裂枣”的矩阵拍了一张结构$X$光片：管你表面上长得多花哨，只要特征值相同、对应的$r(\lambda E-A)$相同，内在结构就完全一致，也就是属于同一个相似类。记住”几何重数定块数、代数重数定大小“这句口诀，这类题基本就是一眼看穿。不过说到底，考研真出这种又偏又细的题，多少有点不讲武德；但道法自然，多备一样兵器总没坏处。万一哪天真碰上了，愿各位道友都能从容应对，而不是临场抓瞎。