考研数学一里，有一批很“坑”的概念：核心公式本身不复杂，甚至一眼就能背下来，但它背后拖着一大串派生概念，能从填空题一路考到压轴大题。贫道把这种“底层公式极简、上层建筑庞大”的东西叫“母公式”或者“母概念”。

这篇笔记挑四组最典型的：曲率、梯度/散度/旋度、全微分与极值、形心/质心/转动惯量。每组都按“核心公式—派生概念—怎么用—常见坑”的顺序捋一遍，最后用三道综合例题把它们串起来。不是公式大全，重点是讲清楚每个概念是什么、从哪来、拿到题该怎么下手。

所谓“母概念”，就是那种一个词能牵出一串词的东西：先把根上的意思弄懂，后面的曲率圆、方向导数、散度、旋度、质心、转动惯量，都只是它换了个马甲。下面每组开头先给一句人话，再上公式。

本文结构：

• 曲率：从“弯得有多厉害”到曲率圆、曲率中心。
• 场论：梯度、方向导数、散度、旋度，以及高斯公式和斯托克斯公式。
• 全微分与极值：可微性、全微分形式不变性、无条件极值、条件极值。
• 积分应用：形心、质心、静矩、转动惯量。
• 三道综合例题：曲率圆、场论综合、全微分与积分应用。

先交代几个后面反复出现的词，免得一上来就被术语绊住：

• 场：给空间里每个点配一个数或一个箭头。配数的是数量场，配箭头的是向量场；温度分布是数量场，风速分布是向量场。
• 等值面/等值线：函数值相同的点连起来的面或线。地图上的等高线就是“海拔等值线”，沿着它走，海拔暂时不升不降。
• 通量：单位时间穿过一个面的“流量”。想象风穿过纱窗：穿过去多少、穿回来多少，净穿出多少就是净通量。
• 环流量：沿着一条闭合路线走一圈，场在你前进方向上帮了多少忙。顺风多就是正，逆风多就是负，绕一圈的净效果就是环流量。

一、曲率：曲线到底弯得有多厉害

先给一句人话：曲率就是“这条路弯得有多急”。同样走$1$米，方向盘打得越多，弯得越急，曲率越大；高速上近乎直线，曲率就接近$0$。

（一）核心公式

平面曲线$y=y(x)$在点$(x_0,y_0)$处的曲率为

$$ \kappa=\frac{\lvert y''\rvert}{(1+y'^2)^{3/2}}. $$

曲率半径为

$$ R=\frac{1}{\kappa} =\frac{(1+y'^2)^{3/2}}{\lvert y''\rvert}. $$

曲率$\kappa$描述曲线在该点附近“弯”的程度：$\kappa$越大，弯得越厉害；$\kappa$越小，越接近直线。直线的$\kappa=0$，曲率半径$R=\infty$。更正式一点说，曲率是切线方向转动的快慢：沿着曲线走一小段，切线转过的角度越大，曲率越大。

如果曲线由参数方程给出：

$$ x=x(t),\qquad y=y(t), $$

则

$$ \kappa=\frac{\lvert x'y''-x''y'\rvert}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}. $$

如果曲线由极坐标给出：

$$ r=r(\theta), $$

则

$$ \kappa=\frac{\lvert r^2+2(r')^2-rr''\rvert}{(r^2+(r')^2)^{3/2}}. $$

考试里最常见的是$y=y(x)$的形式，参数方程偶尔出现，极坐标形式了解即可，真考到了就现推或者套公式。

为什么分母里有个$(1+y’^2)^{3/2}$？可以粗略理解成：$y’‘$只告诉你“斜率变多快”，但曲线越陡，同样走一段水平距离，实际弧长被拉得越长，弯的感觉反而被“摊薄”了；分母就是把这个尺度修正回来。

（二）派生概念

这几个词其实是一套：先有“弯得多急”，再找一个圆来贴合它；圆的大小、圆心、贴合程度，就分别叫曲率半径、曲率中心、二阶相切。

• 曲率半径：$R=1/\kappa$。曲率越大，曲率半径越小；曲率越小，曲率半径越大。直线可以看成半径无穷大的“圆”。人话：弯得越急，能贴合它的圆越小，半径越小。
• 曲率圆（密切圆）：在曲线某点处，以曲率中心为圆心、以曲率半径为半径的圆。它与曲线在该点有相同的切线，也有相同的曲率，是曲线在该点附近“最贴合”的圆。人话：拿一个圆去贴曲线，要求贴得最紧——不只碰一下，连弯曲程度都一样。
• 曲率中心：曲率圆的圆心。它一定在曲线该点的法线上，并且位于曲线的凹侧。人话：这个贴合圆的圆心，就在你“弯腰”的那一侧。
• 二阶相切：曲率圆与曲线不仅相切，而且在切点处的一阶、二阶导数信息相匹配。通俗地说，不是“碰一下就走”，而是“弯的程度也一样”。一阶相切只保证切线一样，二阶相切还保证弯得一样。

设曲线为$y=y(x)$，要求点$(x_0,y_0)$处的曲率中心$(X,Y)$，可以先算

$$ p=y'(x_0),\qquad q=y''(x_0). $$

当$q\ne0$时，

$$ X=x_0-\frac{p(1+p^2)}{q},\qquad Y=y_0+\frac{1+p^2}{q}. $$

曲率圆方程为

$$ (x-X)^2+(y-Y)^2=R^2. $$

这个公式不用死记，记住“圆心在凹侧法线上，距离为$R$”就能现场推。具体做法是：

1. 求出该点的法线方向。
2. 判断曲线在该点是凹向上还是凹向下。
3. 从该点沿法线向凹侧走$R$的距离，得到圆心。
4. 写出圆方程。

当然，直接用上面的$(X,Y)$公式更快，但要知道它是怎么来的。

（三）怎么用

拿到曲率题，一般按这个顺序走：

1. 求$y’$和$y’’$，或者求$x’,y’,x’‘,y’’$。
2. 代入曲率公式，先算$\kappa$，再算$R=1/\kappa$。
3. 如果只问曲率或曲率半径，到这里就结束了。
4. 如果问曲率圆，先找法线，再判断凹侧，最后找圆心、写方程。
5. 如果问曲率中心，直接用$(X,Y)$公式，或者沿法线走$R$。
6. 如果问“圆心在曲线的哪一侧”，看$y’‘$的符号：$y’‘>0$凹向上，圆心在上方；$y’‘<0$凹向下，圆心在下方。

（四）常见坑

• 曲率公式里有绝对值，所以$\kappa\ge0$。算出来是负数，说明你漏了绝对值。
• 曲率圆的圆心在凹侧，不在凸侧。只记住半径、不判断方向，是曲率圆题最常见的错。
• 拐点处$y’‘=0$，曲率$\kappa=0$，曲率半径$R=\infty$，没有有限的曲率圆。
• 直线$\kappa=0$，也没有有限的曲率圆。
• 参数方程的分母是$(x’^2+y’^2)^{3/2}$，不要漏掉平方，也不要把分子写成$y’’$。
• 曲率圆不是切线，也不是法线。它是圆，方程里要有$(x-X)^2+(y-Y)^2=R^2$。

二、梯度、散度与旋度：$\nabla$算子的三副面孔

先分清两个词：数量场是“每点一个数”，像温度地图；向量场是“每点一个箭头”，像风向图。$\nabla$就是一个“怎么变”的探头：问数怎么变，得到梯度；问箭头从哪冒出来，得到散度；问箭头怎么打转，得到旋度。

（一）$\nabla$算子

三维空间里，

$$ \nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right). $$

它本身不是一个普通的数，而是一个“求导指令”。作用在数量场上，得到梯度；和向量场做点乘，得到散度；和向量场做叉乘，得到旋度。

如果这句话太抽象，就把它想成三个问题：往哪边爬最陡？这一点是水龙头还是下水口？附近的水在不在打旋？对应的答案就是梯度、散度、旋度。

（二）梯度

设$f(x,y,z)$是数量场，则

$$ \mathrm{grad} f=\nabla f=(f_x,f_y,f_z). $$

梯度是向量。它的几何意义是：

人话：站在山坡上，梯度箭头指向最陡的上坡方向，箭头的长度就是最陡的坡度。它不告诉你“山有多高”，只告诉你“往哪走升得最快”。

• $\nabla f(P)$垂直于过$P$点的等值面$f=\text{常数}$。
• $\nabla f(P)$指向函数值增大最快的方向。
• $\lvert\nabla f(P)\rvert$等于该点方向导数的最大值。

对于二元函数$f(x,y)$，梯度在平面内，垂直于等值线$f(x,y)=\text{常数}$。

（三）方向导数

设$\boldsymbol{e}_l=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$是单位方向向量，则$f$沿该方向的方向导数为

$$ \frac{\partial f}{\partial l} =\nabla f\cdot\boldsymbol{e}_l =\lvert\nabla f\rvert\cos\theta, $$

人话：方向导数就是“沿这个方向走一步，函数升得多快”的变化率。它是一个数，不是箭头；方向不同，答案就不同。

其中$\theta$是梯度与方向$\boldsymbol{e}_l$的夹角。

如果题目给的方向向量是$\boldsymbol{l}$，不是单位向量，那就要先单位化：

$$ \boldsymbol{e}_l=\frac{\boldsymbol{l}}{\lVert\boldsymbol{l}\rVert}. $$

方向导数的几个结论：

• 沿梯度方向，方向导数最大，最大值为$\lvert\nabla f\rvert$。
• 沿梯度反方向，方向导数最小，最小值为$-\lvert\nabla f\rvert$。
• 沿与梯度垂直的方向，方向导数为$0$。
• 如果$\nabla f=0$，那么所有方向的方向导数都是$0$。

（四）散度

设向量场$\boldsymbol{F}=(P,Q,R)$，则

$$ \mathrm{div}\boldsymbol{F} =\nabla\cdot\boldsymbol{F} =P_x+Q_y+R_z. $$

散度是标量。物理意义是“源汇强度”：

人话：拿一个极小的盒子把点包起来，看箭头是净往外冒，还是净往里钻。往外冒为正，往里钻为负，不冒不进就是$0$。

• $\mathrm{div}\boldsymbol{F}>0$：该点附近有“源”，向量场向外发散。
• $\mathrm{div}\boldsymbol{F}<0$：该点附近有“汇”，向量场向内汇聚。
• $\mathrm{div}\boldsymbol{F}=0$：该点附近无源无汇，向量场是“无源场”。

在二维情形，$\boldsymbol{F}=(P(x,y),Q(x,y))$，则

$$ \mathrm{div}\boldsymbol{F}=P_x+Q_y. $$

（五）旋度

设向量场$\boldsymbol{F}=(P,Q,R)$，则

$$ \mathrm{rot}\boldsymbol{F} =\nabla\times\boldsymbol{F} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\ P & Q & R \end{vmatrix} =(R_y-Q_z,\ P_z-R_x,\ Q_x-P_y). $$

旋度是向量。物理意义是“旋转强度”：

人话：在这一点放一个很小的风车，看风会不会把它转起来。转得越猛，旋度越大；旋度的方向就是风车轴的方向，符合右手定则。

• 旋度的方向是旋转轴的方向，符合右手定则。
• 旋度的模长表示该点附近旋转的强弱。
• 如果$\mathrm{rot}\boldsymbol{F}=0$，称$\boldsymbol{F}$为无旋场。

在二维情形，$\boldsymbol{F}=(P(x,y),Q(x,y),0)$，则

$$ \mathrm{rot}\boldsymbol{F}=(0,0,Q_x-P_y). $$

很多教材在二维里直接把$Q_x-P_y$叫作“旋度”，这时它是一个标量。做题时要看题目是在二维还是三维语境里。

（六）拉普拉斯算子与常用恒等式

拉普拉斯算子定义为梯度的散度：

$$ \Delta f =\mathrm{div}(\mathrm{grad} f) =f_{xx}+f_{yy}+f_{zz}. $$

满足$\Delta f=0$的函数叫调和函数。拉普拉斯算子描述的是“某点的值与其周围平均值的偏离”，在物理里经常出现在势函数、热传导、流体力学里。

人话：把一点的值和它周围一圈的平均值比。比周围低，$\Delta f>0$，像是“有东西在往这里补”；比周围高，$\Delta f<0$，像是“有东西在往外漏”；刚好等于周围平均，就是$\Delta f=0$，所以叫调和。

几个常用恒等式：

$$ \mathrm{rot}(\mathrm{grad} f)=0, $$

$$ \mathrm{div}(\mathrm{rot}\boldsymbol{F})=0, $$

$$ \mathrm{div}(\mathrm{grad} f)=\Delta f. $$

还有一条了解即可：

$$ \mathrm{rot}(\mathrm{rot}\boldsymbol{F}) =\mathrm{grad}(\mathrm{div}\boldsymbol{F})-\Delta\boldsymbol{F}. $$

前两条很重要：梯度场一定无旋，旋度场一定无源。很多证明题就是拿这两条做文章。

（七）高斯公式、斯托克斯公式与格林公式

这一组公式看着吓人，其实都在说同一件事：把“边界上的总效果”换成“里面所有源汇、旋涡的总账”。先记住这个翻译，再记公式。

（一）高斯公式

设$\Sigma$是封闭曲面，取外侧，$\Omega$是$\Sigma$围成的空间区域，则

$$ \iint_{\Sigma}\boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} =\iiint_{\Omega}\mathrm{div}\boldsymbol{F}\,\mathrm{d}V. $$

左边就是通量。人话：拿一张有正反面的网去接水流，单位时间从正面穿到反面的净水量就是通量；曲面取外侧，就是规定“从里面穿到外面算正”。

高斯公式把“通过封闭曲面的通量”转化成了“散度的体积分”。物理上就是：穿出去的净通量，等于里面所有源汇的总强度。

（二）斯托克斯公式

设$\Gamma$是空间中的封闭曲线，$\Sigma$是以$\Gamma$为边界的曲面，$\Gamma$的方向与$\Sigma$的法向量符合右手定则，则

$$ \oint_{\Gamma}\boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r} =\iint_{\Sigma}(\mathrm{rot}\boldsymbol{F})\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}. $$

左边叫环流量。人话：沿着闭曲线走一圈，场一共帮了你多少；顺风多就是正，逆风多就是负。

斯托克斯公式把“沿闭曲线的环流量”转化成了“旋度通过曲面的通量”。物理上就是：沿着边界转一圈的环流，等于中间涡旋的总强度。

（三）格林公式

格林公式是斯托克斯公式在平面上的特例。设$L$是平面区域$D$的正向边界，则

$$ \oint_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y =\iint_D(Q_x-P_y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y. $$

人话：格林公式就是平面版的斯托克斯公式——把“沿闭曲线走一圈的环流”换成“区域里每一点的二维旋度加起来”。

这里的$Q_x-P_y$就是二维旋度。格林公式在曲线积分里非常常用，尤其是“闭曲线积分转二重积分”。

（八）怎么用

场论题拿到手，先判断是数量场还是向量场：

1. 数量场求梯度、方向导数、等值面法向量。
2. 向量场求散度、旋度、通量、环流量。
3. 求方向导数，先求梯度，再把方向单位化，最后点乘。
4. 求通量，先看曲面是否封闭、定向是否外侧；不封闭就补面。
5. 求环流量，先看曲线是否封闭；用斯托克斯公式时，曲面可以任选，选好算的平面。
6. 用高斯公式或斯托克斯公式前，检查场在区域内部有没有奇点。有奇点就不能直接套。

（九）常见坑

• 梯度是向量，散度是标量，旋度是向量。三者不要混。
• 方向导数必须用单位方向向量。题目给$(1,2,2)$，你要先除以$3$。
• 梯度方向是函数增大最快的方向，不是减小最快。减小最快是梯度反方向。
• 高斯公式要求曲面封闭且取外侧。不封闭就补面，补完以后别忘了把补面上的通量减掉。
• 斯托克斯公式要求曲线方向与曲面法向量符合右手定则。方向反了，答案差一个负号。
• 场在区域内有奇点时，不能直接使用高斯公式或斯托克斯公式，要挖掉奇点或者用极限处理。
• 二维旋度常写成标量$Q_x-P_y$，三维旋度是向量。看题目语境，别把两者混为一谈。

三、全微分与极值：从“线性近似”到“约束优化”

先给一句人话：全微分就是“用一张平面去局部冒充曲面”。曲面太复杂，但在一点附近，它几乎就是那张切平面；全微分就是这张平面给出的线性近似。

（一）全微分

设$z=f(x,y)$，在点$(x_0,y_0)$处可微，则全微分为

$$ \mathrm{d}z=f_x(x_0,y_0)\,\mathrm{d}x+f_y(x_0,y_0)\,\mathrm{d}y. $$

如果$f=f(x,y,z)$，则

$$ \mathrm{d}f=f_x\,\mathrm{d}x+f_y\,\mathrm{d}y+f_z\,\mathrm{d}z. $$

全微分可以写成向量形式：

$$ \mathrm{d}f=\nabla f\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}, $$

其中$\mathrm{d}\boldsymbol{r}=(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z)$。这也说明梯度和全微分是同一件事的两种写法。

几何上，$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0,z_0)$处的切平面为

$$ z-z_0=f_x(x-x_0)+f_y(y-y_0). $$

全微分$\mathrm{d}z$就是切平面上的线性增量，也是$\Delta z$的线性主部。“线性主部”这个词听着玄，其实就是：增量里“最主要、跟$\Delta x,\Delta y$成正比”的那一块；剩下的误差比$\rho$跑得还快，所以叫高阶无穷小。

（二）可微性判定

函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处可微，定义为

$$ \Delta z =f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y+o(\rho), $$

其中

$$ \rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}. $$

人话：可微就是“曲面在这一点足够光滑，能被一张平面贴住”。注意，不是“偏导存在”就行；偏导只检查十字路口的两个方向，可微要求四面八方看过去都像平面。

几个关系要记清楚：

• 可微$\Rightarrow$连续。
• 可微$\Rightarrow$偏导数存在。
• 偏导数存在$\nRightarrow$可微。
• 偏导数连续$\Rightarrow$可微。

也就是说，“偏导存在”只是必要条件，不是充分条件。判断分段函数在原点是否可微，最稳的办法是回到定义，算

$$ \lim_{\rho\to0} \frac{\Delta z-f_x\Delta x-f_y\Delta y}{\rho}. $$

如果这个极限为$0$，才可微。

一个经典反例：

$$ f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x,y)\ne(0,0),\\\\ 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases} $$

在原点处$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$，但

$$ \frac{f(h,k)-f(0,0)}{\sqrt{h^2+k^2}} =\frac{hk}{h^2+k^2}, $$

沿$h=k$方向极限为$1/2$，不是$0$，所以不可微。这个例子专门用来打“偏导存在就可微”的脸。

（三）全微分形式不变性与隐函数求导

一阶全微分有一个很好的性质：形式不变性。如果$z=f(u,v)$，无论$u,v$是自变量还是中间变量，都有

$$ \mathrm{d}z=f_u\,\mathrm{d}u+f_v\,\mathrm{d}v. $$

人话：不管$u,v$是“自己当老板”的自变量，还是“给别人打工”的中间变量，一阶微分都写成$f_u\mathrm{d}u+f_v\mathrm{d}v$，样子不变。换马甲不换人。

注意，这个性质只对一阶全微分成立。二阶及更高阶的微分一般不具有这种形式不变性，别乱推广。

利用全微分形式不变性，可以很方便地做隐函数求导。设

$$ F(x,y,z)=0, $$

两边取全微分：

$$ F_x\,\mathrm{d}x+F_y\,\mathrm{d}y+F_z\,\mathrm{d}z=0. $$

如果$F_z\ne0$，则

$$ \mathrm{d}z =-\frac{F_x}{F_z}\,\mathrm{d}x -\frac{F_y}{F_z}\,\mathrm{d}y, $$

所以

$$ z_x=-\frac{F_x}{F_z},\qquad z_y=-\frac{F_y}{F_z}. $$

人话：方程$F(x,y,z)=0$把$z$藏起来了，两边一起微分，再解出$\mathrm{d}z$，就把$z$的偏导“抠”出来了。

二元隐函数$F(x,y)=0$同理：

$$ y'=-\frac{F_x}{F_y}. $$

（四）泰勒公式与近似计算

二元函数在点$(x_0,y_0)$处的二阶泰勒公式为

$$ \begin{aligned} f(x_0+h,y_0+k) ={}&f(x_0,y_0)+f_x h+f_y k\\ &+\frac12\left(f_{xx}h^2+2f_{xy}hk+f_{yy}k^2\right) +o(h^2+k^2). \end{aligned} $$

人话：一阶泰勒是拿一张平面去贴曲面，二阶泰勒是拿一个二次曲面去贴；阶数越高，贴得越紧，离展开点越远也越像。

一阶近似就是全微分：

$$ f(x,y)\approx f(x_0,y_0)+f_x\Delta x+f_y\Delta y. $$

二阶项可以用来做更精确的近似，也可以用来求极限。判断极值时，二阶泰勒公式就是二次型判别法的来源。

（五）无条件极值

无条件极值，就是“没有附加条件，整片区域随便走，找最高点和最低点”；下一节的条件极值，则是“只能沿着给定的线或面走”。

设$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某邻域内有二阶连续偏导数，且

$$ f_x(x_0,y_0)=0,\qquad f_y(x_0,y_0)=0, $$

即$(x_0,y_0)$是驻点。人话：驻点就是“切平面放平了”的点；它可能是山顶、谷底，也可能是马鞍中间，所以还要用二阶导数判断弯的方向。

令

$$ A=f_{xx}(x_0,y_0),\quad B=f_{xy}(x_0,y_0),\quad C=f_{yy}(x_0,y_0), $$

判别式为

$$ \mathcal{D}=AC-B^2. $$

则：

• $\mathcal{D}>0$时，$(x_0,y_0)$是极值点。若$A>0$，是极小值；若$A<0$，是极大值。
• $\mathcal{D}<0$时，$(x_0,y_0)$不是极值点，是鞍点。
• $\mathcal{D}=0$时，判别法失效，需要另想办法，比如用定义、泰勒公式或者配方法。

这个判别式的本质是看黑塞矩阵

$$ H=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\ f_{xy} & f_{yy} \end{pmatrix} $$

的正定性。$H$正定，极小；$H$负定，极大；$H$不定，鞍点。人话：黑塞矩阵就是把这点的二阶弯曲情况排成一张表——正定，往哪个方向走都往上弯，是谷底；负定，往哪个方向走都往下弯，是山顶；不定，有的方向往上、有的往下，是鞍点。

如果是在闭区域上求最值，不要只算驻点。步骤是：

1. 求区域内部的驻点，算函数值。
2. 求边界上的极值，可以用拉格朗日乘数法、参数化或者直接代入。
3. 把所有候选点的函数值放在一起比较，最大的是最大值，最小的是最小值。

（六）条件极值与拉格朗日乘数法

求$f(x,y,z)$在约束$g(x,y,z)=0$下的极值，可以用拉格朗日乘数法。人话：原来要在整个空间里找极值，现在被约束$g=0$拴在一张面上，只能在面上找；乘数法就是把这个“拴法”乘一个$\lambda$塞进目标函数里。

构造拉格朗日函数

$$ L=f+\lambda g, $$

然后解方程组

$$ \begin{cases} L_x=f_x+\lambda g_x=0,\\ L_y=f_y+\lambda g_y=0,\\ L_z=f_z+\lambda g_z=0,\\ g(x,y,z)=0. \end{cases} $$

也就是

$$ \nabla f=\lambda\nabla g,\qquad g=0. $$

几何意义是：在极值点处，$f$的等值面与约束曲面相切，两个梯度平行。更直白地说：沿着约束面走，如果目标函数的等值面还和约束面“交叉”，那跨过去还能继续变大或变小；只有走到两者“相切”、再也跨不过去时，才可能是极值。$\nabla f$和$\nabla g$平行，就是“相切”的代数写法。

如果是两个约束$g_1=0,g_2=0$，则

$$ \nabla f=\lambda_1\nabla g_1+\lambda_2\nabla g_2. $$

如果是二元函数$f(x,y)$在约束$g(x,y)=0$下求极值，方程组就是

$$ \begin{cases} f_x=\lambda g_x,\\ f_y=\lambda g_y,\\ g(x,y)=0. \end{cases} $$

拉格朗日乘数法给出的是“候选点”，不是直接给出最值。算出候选点以后，还要比较函数值。如果区域有边界，还要检查边界；如果是实际问题，还要结合几何意义或者物理意义判断。

（七）几何应用：切线、法平面、切平面、法线

全微分和梯度在几何里非常常用，核心就一句话：梯度是法向量，导数是切向量。

人话：切线是“顺着路走”的方向，法线是“垂直路牌”的方向；曲线用切向量，曲面用法向量。写方程时，切线和法平面是一对，切平面和法线是一对，别牵错手。

（一）空间曲线的切线与法平面

设空间曲线为

$$ \boldsymbol{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)), $$

则在$t_0$处，切向量为

$$ \boldsymbol{r}'(t_0)=(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0)). $$

切线方程为

$$ \frac{X-x(t_0)}{x'(t_0)} =\frac{Y-y(t_0)}{y'(t_0)} =\frac{Z-z(t_0)}{z'(t_0)}. $$

法平面方程为

$$ x'(t_0)(X-x(t_0)) +y'(t_0)(Y-y(t_0)) +z'(t_0)(Z-z(t_0))=0. $$

如果某个分母为$0$，对称式要单独处理，写成对应的参数形式。

（二）曲面的切平面与法线

设曲面为

$$ F(x,y,z)=0, $$

则在点$P(x_0,y_0,z_0)$处，法向量为

$$ \nabla F(P)=(F_x(P),F_y(P),F_z(P)). $$

切平面方程为

$$ F_x(P)(X-x_0)+F_y(P)(Y-y_0)+F_z(P)(Z-z_0)=0. $$

法线方程为

$$ \frac{X-x_0}{F_x(P)} =\frac{Y-y_0}{F_y(P)} =\frac{Z-z_0}{F_z(P)}. $$

如果曲面写成$z=f(x,y)$，可以令

$$ F(x,y,z)=f(x,y)-z=0, $$

则法向量为

$$ (f_x,f_y,-1). $$

切平面方程就是

$$ z-z_0=f_x(x-x_0)+f_y(y-y_0). $$

这和全微分里的切平面公式完全一致。

（八）怎么用

1. 求全微分：先求偏导，再写成$f_x\mathrm{d}x+f_y\mathrm{d}y$。
2. 判断可微：先看偏导是否连续；如果题目是分段函数，回到定义算极限。
3. 求无条件极值：解$f_x=f_y=0$，算判别式$\mathcal{D}=AC-B^2$，再结合区域边界。
4. 求条件极值：构造拉格朗日函数，解方程组，比较候选点的函数值。
5. 求几何对象：曲线看切向量，曲面看梯度；切线/法平面、切平面/法线别写反。
6. 求近似或极限：用一阶全微分或二阶泰勒公式，展开到足够阶数。

（九）常见坑

• 偏导数存在不等于可微。分段函数在原点，优先用定义判断。
• 可微一定连续，但连续不一定可微；连续也不一定偏导存在。
• 判别式是$\mathcal{D}=AC-B^2$，不是$B^2-AC$。$\mathcal{D}=0$时不能直接下结论。
• 条件极值求出的是候选点，必须比较函数值，不能看到一个驻点就宣布它是最大值。
• 闭区域求最值，别忘了边界。很多题的最大值就在边界上。
• 一阶全微分形式不变，二阶微分一般不形式不变，别乱套。
• 切平面和法线不要写反：曲面$F=0$的切平面用法向量点乘，法线用方向向量。
• 法向量可以差一个负号，方程不变；但如果是通量、环流量，定向的符号就很重要。

四、形心、质心与转动惯量：一阶矩与二阶矩

先给一句人话：形心是“图形的几何中心”，质心是“重量分布的中心”，转动惯量是“转起来有多费劲”。

（一）平面薄片的基本公式

设$D$是一块平面薄片，密度为$\mu(x,y)$。质量为

$$ M=\iint_D\mu(x,y)\,\mathrm{d}\sigma. $$

人话：质量是“总共多少”，静矩是“质量×位置”的总和，质心是“最后平衡在哪一点”。一阶矩管重心，二阶矩管转起来费不费劲。

静矩（一阶矩）为

$$ M_x=\iint_D y\mu(x,y)\,\mathrm{d}\sigma,\qquad M_y=\iint_D x\mu(x,y)\,\mathrm{d}\sigma. $$

质心坐标为

$$ \bar{x}=\frac{M_y}{M},\qquad \bar{y}=\frac{M_x}{M}. $$

这里要特别注意记号：

• $M_x$是“关于$x$轴”的静矩，用的是$y$。
• $M_y$是“关于$y$轴”的静矩，用的是$x$。

很多教材把静矩记作$S_x,S_y$，和这里的$M_x,M_y$是一回事。谁绕谁转，就用另一个坐标，别搞反。

如果薄片是均匀的，即$\mu$为常数，那么质心就是形心。令$\mu=1$，面积为

$$ A=\iint_D\mathrm{d}\sigma, $$

形心坐标为

$$ \bar{x}=\frac{1}{A}\iint_D x\,\mathrm{d}\sigma,\qquad \bar{y}=\frac{1}{A}\iint_D y\,\mathrm{d}\sigma. $$

形心只跟几何形状有关，质心还跟密度分布有关。密度不均匀时，质心会偏向密度大的那一侧，形心则还是几何中心。密度大的地方像“更重的秤砣”，会把质心往自己那边拽；形心不理会密度，只认几何。

转动惯量（二阶矩）为

$$ I_x=\iint_D y^2\mu(x,y)\,\mathrm{d}\sigma, $$

$$ I_y=\iint_D x^2\mu(x,y)\,\mathrm{d}\sigma, $$

$$ I_O=\iint_D (x^2+y^2)\mu(x,y)\,\mathrm{d}\sigma =I_x+I_y. $$

其中$I_x$是绕$x$轴的转动惯量，$I_y$是绕$y$轴的转动惯量，$I_O$是绕原点（也就是绕垂直于薄片的$z$轴）的转动惯量。

人话：转动惯量就是“让这个东西转起来有多费劲”。同样重的东西，离轴越远越难转；因为公式里是距离的平方，所以往外挪一点，费劲程度会涨得很快。花样滑冰运动员收手臂会转得更快，就是因为转动惯量变小了。

惯性积为

$$ I_{xy}=\iint_D xy\mu(x,y)\,\mathrm{d}\sigma. $$

惯性积可以是正数、负数或零，考研数学一里考得不多，了解定义即可。人话：惯性积看的是质量分布“斜不斜”。图形关于$x$轴或$y$轴对称时，它常常是$0$；考研里知道有这个量、会看定义就行。

一句话总结：一阶矩求质心，二阶矩求转动惯量。

（二）空间物体、曲线与曲面

空间物体$\Omega$的密度为$\rho(x,y,z)$，则质量为

$$ M=\iiint_\Omega\rho(x,y,z)\,\mathrm{d}V. $$

人话：空间物体就是把平面薄片的“面积”换成“体积”，把密度乘进去；曲线、曲面同理，只是积分区域从一块面变成一条线或一张皮。

质心坐标为

$$ \bar{x}=\frac{1}{M}\iiint_\Omega x\rho\,\mathrm{d}V,\qquad \bar{y}=\frac{1}{M}\iiint_\Omega y\rho\,\mathrm{d}V,\qquad \bar{z}=\frac{1}{M}\iiint_\Omega z\rho\,\mathrm{d}V. $$

绕三个坐标轴的转动惯量分别为

$$ I_x=\iiint_\Omega(y^2+z^2)\rho\,\mathrm{d}V, $$

$$ I_y=\iiint_\Omega(x^2+z^2)\rho\,\mathrm{d}V, $$

$$ I_z=\iiint_\Omega(x^2+y^2)\rho\,\mathrm{d}V. $$

绕原点的转动惯量为

$$ I_O=\iiint_\Omega(x^2+y^2+z^2)\rho\,\mathrm{d}V =I_x+I_y+I_z. $$

注意：空间物体的$I_x$用的是到$x$轴的距离平方$y^2+z^2$，不是单纯的$y^2$。这是空间和平面最容易混的地方。

曲线和曲面的公式形式完全一样，只要把$\mathrm{d}\sigma$换成$\mathrm{d}s$或$\mathrm{d}S$：

$$ M=\int_L\mu\,\mathrm{d}s,\qquad \bar{x}=\frac{1}{M}\int_L x\mu\,\mathrm{d}s, $$

$$ M=\iint_{\Sigma}\mu\,\mathrm{d}S,\qquad \bar{x}=\frac{1}{M}\iint_{\Sigma} x\mu\,\mathrm{d}S. $$

转动惯量同理，比如曲线绕$x$轴的转动惯量为

$$ I_x=\int_L y^2\mu\,\mathrm{d}s. $$

（三）对称性、平行轴定理与垂直轴定理

这一组是“偷懒三件套”：对称性帮你少算，平行轴定理帮你平移，垂直轴定理帮你把平面薄片的两个方向加起来。

（一）对称性

如果薄片$D$和密度$\mu$关于$y$轴对称，则$\bar{x}=0$；关于$x$轴对称，则$\bar{y}=0$。如果关于两条轴都对称，质心就在原点。

对称性只能在没有“偏心”的密度分布时直接用。如果密度一边大一边小，几何对称不等于质心在对称轴上。人话：图形左右一样，重心就在对称轴上；但如果左边是铁、右边是泡沫，重心会被铁那边拽走，几何对称就不管用了。

（二）平行轴定理

设$I_C$是刚体绕通过质心的某条轴的转动惯量，$I$是绕与它平行、距离为$d$的另一条轴的转动惯量，则

$$ I=I_C+Md^2. $$

其中$M$是总质量。平行轴定理在组合图形里很好用：先算绕质心轴的转动惯量，再平移到目标轴。人话：把质量整体搬到离轴更远的地方，要多付$Md^2$的“运费”；所以在所有与它平行的轴里，绕质心轴的那个最小。

（三）垂直轴定理

对于位于$xy$平面内的平面薄片，绕$z$轴的转动惯量等于绕$x$轴和绕$y$轴的转动惯量之和：

$$ I_z=I_x+I_y. $$

人话：薄片很薄，绕$z$轴转，等于同时绕$x$轴和$y$轴转，两个方向的“费劲”直接相加。

这个定理只适用于平面薄片，空间物体不要乱用。

（四）常用形心与转动惯量

• 半圆（半径$R$）：形心在对称轴上，距直径$\dfrac{4R}{3\pi}$。
• 四分之一圆（半径$R$）：形心坐标为$\left(\dfrac{4R}{3\pi},\dfrac{4R}{3\pi}\right)$。
• 三角形：形心坐标是三个顶点坐标的平均值。
• 矩形、圆、椭圆：形心在几何中心。
• 均匀细杆（长$L$，质量$M$）：绕中点$I=\dfrac{ML^2}{12}$，绕端点$I=\dfrac{ML^2}{3}$。
• 均匀圆盘（半径$R$，质量$M$）：绕中心轴$I=\dfrac12MR^2$，绕直径$I=\dfrac14MR^2$。
• 均匀圆环（半径$R$，质量$M$）：绕中心轴$I=MR^2$。
• 均匀球体（半径$R$，质量$M$）：绕直径$I=\dfrac25MR^2$。

这些常用结果记不住也没关系，考场上可以用积分推。但常见的圆盘、细杆最好记住，能省不少时间。

（四）怎么用

1. 先画区域，选坐标系。圆、扇形、圆环优先用极坐标；矩形用直角坐标；空间旋转体优先用柱坐标或球坐标。
2. 先算质量或面积。均匀薄片算面积，非均匀薄片算质量。
3. 求质心或形心：算一阶矩$M_x,M_y$，再除以$M$或$A$。
4. 求转动惯量：算二阶矩。平面薄片$I_x$用$y^2$，$I_y$用$x^2$；空间物体$I_x$用$y^2+z^2$。
5. 能用对称性就用对称性。比如四分之一圆，$\bar{x}=\bar{y}$，只算一个就行。
6. 组合图形先拆成简单图形，分别算质量和矩，再相加；有孔洞就减去孔洞的贡献。
7. 需要平移轴时，用平行轴定理$I=I_C+Md^2$。

（五）常见坑

• $M_x$和$M_y$容易写反：$M_x$用$y$，$M_y$用$x$。
• $I_x$用$y^2$，不是$x^2$；$I_y$用$x^2$，不是$y^2$。
• 空间物体的$I_x$用$y^2+z^2$，不要只写$y^2$。
• 形心和质心不是一回事。密度不均匀时，质心要带密度，形心不带。
• 对称性要连同密度一起看。几何对称但密度不对称，质心不一定在对称轴上。
• 组合图形有孔洞时，孔洞的质量和矩要减掉，不是加上。
• 平行轴定理里的$d$是两条平行轴之间的距离，不是到原点的距离。
• 垂直轴定理只适用于平面薄片，空间物体不要用$I_z=I_x+I_y$。

五、三道综合例题

（一）曲率与曲率圆

例$1$：设曲线$y=\ln x$，点$P(1,0)$。

（$1$）求曲线在$P$点的曲率$\kappa$和曲率半径$R$；

（$2$）求$P$点处的曲率圆圆心和曲率圆方程；

（$3$）说明曲率圆圆心在曲线的哪一侧。

解：

先求导：

$$ y'=\frac{1}{x},\qquad y''=-\frac{1}{x^2}. $$

在$x=1$处，

$$ y'=1,\qquad y''=-1. $$

（$1$）曲率为

$$ \kappa=\frac{\lvert y''\rvert}{(1+y'^2)^{3/2}} =\frac{1}{(1+1)^{3/2}} =\frac{1}{2\sqrt2} =\frac{\sqrt2}{4}. $$

曲率半径为

$$ R=\frac{1}{\kappa}=2\sqrt2. $$

（$2$）设曲率中心为$(X,Y)$。代入曲率中心公式：

$$ X=x_0-\frac{y'(1+y'^2)}{y''} =1-\frac{1\cdot(1+1)}{-1} =3, $$

$$ Y=y_0+\frac{1+y'^2}{y''} =0+\frac{1+1}{-1} =-2. $$

所以曲率圆圆心为$(3,-2)$，曲率圆方程为

$$ (x-3)^2+(y+2)^2=8. $$

（$3$）因为$y’’=-1<0$，曲线在$P$点附近凹向下，所以曲率圆圆心在曲线的下方。圆心$(3,-2)$确实在$P(1,0)$的下方，和判断一致。

顺便验证一下：$P$点处的法线斜率为$-1/y’=-1$，法线方程为

$$ y=-(x-1), $$

即

$$ x+y-1=0. $$

圆心$(3,-2)$满足$3-2-1=0$，确实在法线上；圆心到$P$点的距离为

$$ \sqrt{(3-1)^2+(-2-0)^2} =\sqrt{4+4} =2\sqrt2 =R. $$

这说明我们的圆心没有找错。

（二）场论综合

例$2$：设

$$ f(x,y,z)=x^2y+yz^2, $$

向量场

$$ \boldsymbol{F}=(x^2y,yz^2,zx^2), $$

点$P(1,1,1)$，方向$\boldsymbol{l}=(1,2,2)$。

（$1$）求$\nabla f(P)$，并求$f$在$P$点沿$\boldsymbol{l}$的方向导数；

（$2$）求$f$在$P$点方向导数的最大值及取得最大值的方向；

（$3$）求$\mathrm{div}\boldsymbol{F}(P)$和$\mathrm{rot}\boldsymbol{F}(P)$；

（$4$）求$\boldsymbol{F}$通过立方体$[0,1]^3$表面外侧的通量。

解：

（$1$）先求梯度：

$$ \nabla f=(f_x,f_y,f_z)=(2xy,\ x^2+z^2,\ 2yz). $$

在$P(1,1,1)$处，

$$ \nabla f(P)=(2,2,2). $$

方向$\boldsymbol{l}=(1,2,2)$的长度为

$$ \lVert\boldsymbol{l}\rVert =\sqrt{1^2+2^2+2^2} =3. $$

单位方向为

$$ \boldsymbol{e}_l=\left(\frac13,\frac23,\frac23\right). $$

所以方向导数为

$$ \frac{\partial f}{\partial l} =\nabla f(P)\cdot\boldsymbol{e}_l =(2,2,2)\cdot\left(\frac13,\frac23,\frac23\right) =\frac{2+4+4}{3} =\frac{10}{3}. $$

（$2$）方向导数的最大值为梯度的模：

$$ \lvert\nabla f(P)\rvert =\sqrt{2^2+2^2+2^2} =2\sqrt3. $$

取得最大值的方向就是梯度方向，即

$$ \nabla f(P)=(2,2,2), $$

单位方向为

$$ \frac{(2,2,2)}{\lVert(2,2,2)\rVert} =\frac{(2,2,2)}{2\sqrt3} =\left(\frac{1}{\sqrt3},\frac{1}{\sqrt3},\frac{1}{\sqrt3}\right). $$

方向导数的最小值为$-2\sqrt3$，在相反方向取得。

（$3$）散度为

$$ \mathrm{div}\boldsymbol{F} =P_x+Q_y+R_z =2xy+z^2+x^2. $$

在$P(1,1,1)$处，

$$ \mathrm{div}\boldsymbol{F}(P)=2+1+1=4. $$

旋度为

$$ \mathrm{rot}\boldsymbol{F} =(R_y-Q_z,\ P_z-R_x,\ Q_x-P_y). $$

逐项计算：

$$ R_y-Q_z=0-2yz=-2yz, $$

$$ P_z-R_x=0-2zx=-2zx, $$

$$ Q_x-P_y=0-x^2=-x^2. $$

所以

$$ \mathrm{rot}\boldsymbol{F}=(-2yz,-2zx,-x^2). $$

在$P(1,1,1)$处，

$$ \mathrm{rot}\boldsymbol{F}(P)=(-2,-2,-1). $$

（$4$）立方体$[0,1]^3$的表面是封闭曲面，取外侧，可以直接用高斯公式：

$$ \iint_{\Sigma}\boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} =\iiint_{[0,1]^3}\mathrm{div}\boldsymbol{F}\,\mathrm{d}V. $$

代入散度：

$$ \iiint_{[0,1]^3}(2xy+z^2+x^2)\,\mathrm{d}V. $$

分别积分：

$$ \iiint_{[0,1]^3}2xy\,\mathrm{d}V =2\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot1 =\frac12, $$

$$ \iiint_{[0,1]^3}z^2\,\mathrm{d}V =\frac13, $$

$$ \iiint_{[0,1]^3}x^2\,\mathrm{d}V =\frac13. $$

所以通量为

$$ \frac12+\frac13+\frac13 =\frac12+\frac23 =\frac76. $$

（三）全微分、极值与积分应用

例$3$：设

$$ f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y+5, $$

$$ D=\left\lbrace(x,y):x^2+y^2\le4\right\rbrace, $$

$$ \Omega=\left\lbrace(x,y):x^2+y^2\le4,\ x\ge0,\ y\ge0\right\rbrace. $$

（$1$）求$f$在点$(1,1)$处的全微分；

（$2$）求$f$在$D$上的最大值和最小值；

（$3$）若$\Omega$是一块均匀薄片（密度$\mu=1$），求$\Omega$的形心和绕$x$轴的转动惯量$I_x$。

解：

（$1$）先求偏导：

$$ f_x=2x-2,\qquad f_y=2y-4. $$

在$(1,1)$处，

$$ f_x(1,1)=0,\qquad f_y(1,1)=-2. $$

所以全微分为

$$ \mathrm{d}f=-2\,\mathrm{d}y. $$

（$2$）先配方：

$$ f(x,y)=x^2-2x+y^2-4y+5 =(x-1)^2+(y-2)^2. $$

它表示点$(x,y)$到点$(1,2)$的距离平方。

点$(1,2)$满足

$$ 1^2+2^2=5>4, $$

所以在圆盘$D$的外部。也就是说，$f$在$D$内部没有驻点，最值只能在边界$x^2+y^2=4$上取得。

用拉格朗日乘数法。令

$$ g(x,y)=x^2+y^2-4=0. $$

则

$$ \nabla f=(2(x-1),2(y-2)),\qquad \nabla g=(2x,2y). $$

由$\nabla f=\lambda\nabla g$得

$$ 2(x-1)=2\lambda x,\qquad 2(y-2)=2\lambda y. $$

化简：

$$ x-1=\lambda x,\qquad y-2=\lambda y. $$

即

$$ (1-\lambda)x=1,\qquad (1-\lambda)y=2. $$

两式相除，得

$$ \frac{y}{x}=2, $$

所以

$$ y=2x. $$

代入约束$x^2+y^2=4$：

$$ x^2+4x^2=4, $$

$$ 5x^2=4, $$

$$ x=\pm\frac{2}{\sqrt5}. $$

对应的$y$为

$$ y=\pm\frac{4}{\sqrt5}. $$

于是得到两个候选点：

$$ P_1=\left(\frac{2}{\sqrt5},\frac{4}{\sqrt5}\right), \qquad P_2=\left(-\frac{2}{\sqrt5},-\frac{4}{\sqrt5}\right). $$

分别代入$f$：

$$ f(P_1) =\left(\frac{2}{\sqrt5}-1\right)^2 +\left(\frac{4}{\sqrt5}-2\right)^2 =9-4\sqrt5, $$

$$ f(P_2) =\left(-\frac{2}{\sqrt5}-1\right)^2 +\left(-\frac{4}{\sqrt5}-2\right)^2 =9+4\sqrt5. $$

因为$f$在$D$内部没有驻点，所以最小值在$P_1$处取得，最大值在$P_2$处取得：

$$ f_{\min}=9-4\sqrt5,\qquad f_{\max}=9+4\sqrt5. $$

从几何上看也很好理解：$P_1$是圆上离$(1,2)$最近的点，$P_2$是圆上离$(1,2)$最远的点。

（$3$）$\Omega$是半径为$2$的四分之一圆盘，面积为

$$ A=\frac14\pi\cdot2^2=\pi. $$

由对称性，$\bar{x}=\bar{y}$。先算$\bar{x}$：

$$ \bar{x} =\frac{1}{A}\iint_\Omega x\,\mathrm{d}\sigma =\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi/2}\int_0^2 (r\cos\theta)r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta. $$

分离积分：

$$ \bar{x} =\frac{1}{\pi} \left(\int_0^{\pi/2}\cos\theta\,\mathrm{d}\theta\right) \left(\int_0^2 r^2\,\mathrm{d}r\right) =\frac{1}{\pi}\cdot1\cdot\frac83 =\frac{8}{3\pi}. $$

所以形心为

$$ \left(\frac{8}{3\pi},\frac{8}{3\pi}\right). $$

再算绕$x$轴的转动惯量：

$$ I_x =\iint_\Omega y^2\,\mathrm{d}\sigma =\int_0^{\pi/2}\int_0^2 (r\sin\theta)^2r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta. $$

分离积分：

$$ I_x =\left(\int_0^{\pi/2}\sin^2\theta\,\mathrm{d}\theta\right) \left(\int_0^2 r^3\,\mathrm{d}r\right) =\frac{\pi}{4}\cdot4 =\pi. $$

所以

$$ I_x=\pi. $$

由对称性还有$I_y=\pi$，因此绕原点的转动惯量为

$$ I_O=I_x+I_y=2\pi. $$

（四）三道例题答案汇总

• 例$1$：$\kappa=\dfrac{\sqrt2}{4}$，$R=2\sqrt2$，曲率圆圆心$(3,-2)$，曲率圆方程$(x-3)^2+(y+2)^2=8$，圆心在曲线下方。
• 例$2$：$\nabla f(P)=(2,2,2)$，方向导数$\dfrac{10}{3}$，最大值$2\sqrt3$，方向$\left(\dfrac{1}{\sqrt3},\dfrac{1}{\sqrt3},\dfrac{1}{\sqrt3}\right)$，$\mathrm{div}\boldsymbol{F}(P)=4$，$\mathrm{rot}\boldsymbol{F}(P)=(-2,-2,-1)$，通量$\dfrac76$。
• 例$3$：$\mathrm{d}f=-2\,\mathrm{d}y$，$f_{\min}=9-4\sqrt5$，$f_{\max}=9+4\sqrt5$，形心$\left(\dfrac{8}{3\pi},\dfrac{8}{3\pi}\right)$，$I_x=\pi$。

六、备考建议：公式—几何—物理三层

• 公式层：先把核心公式磕熟。曲率、梯度、散度、旋度、全微分、判别式、质心和转动惯量，这些是小题的命根子，不能丢分。
• 几何/物理层：别只背公式。曲率圆要知道圆心在凹侧法线上；梯度要知道它垂直于等值面、指向函数增大方向；散度要知道它是源汇强度；旋度要知道它是旋转强度；转动惯量要知道它用的是到轴距离的平方。
• 综合层：多练跨章节的题。梯度可以和方向导数、切平面结合；曲率可以和泰勒展开、法线结合；全微分可以和极值、几何应用结合；重积分可以和质心、转动惯量结合。题目越综合，越要回到“这个量到底是什么”上。

说白了，公式层保证你会算，几何/物理层保证你不算错方向，综合层保证你看到大题不慌。三层都打通，这些“母公式”才算真正拿下。

七、考前速查

• 曲率：$\kappa=\dfrac{\lvert y’‘\rvert}{(1+y’^2)^{3/2}}$，$R=\dfrac{1}{\kappa}$。曲率圆心在凹侧法线上。
• 梯度：$\mathrm{grad} f=\nabla f$，方向导数$\dfrac{\partial f}{\partial l}=\nabla f\cdot\boldsymbol{e}_l$。方向要单位化。
• 散度：$\mathrm{div}\boldsymbol{F}=P_x+Q_y+R_z$，是标量，看源汇。
• 旋度：$\mathrm{rot}\boldsymbol{F}=\nabla\times\boldsymbol{F}$，是向量，看旋转。
• 高斯公式：封闭曲面通量等于散度的体积分。
• 斯托克斯公式：闭曲线环流量等于旋度的曲面积分。
• 全微分：$\mathrm{d}z=f_x\mathrm{d}x+f_y\mathrm{d}y$，是$\Delta z$的线性主部。
• 极值：驻点$f_x=f_y=0$，判别式$\mathcal{D}=AC-B^2$；闭区域还要看边界。
• 条件极值：拉格朗日乘数法$\nabla f=\lambda\nabla g$，算出候选点后比较函数值。
• 形心/质心：一阶矩除以质量或面积。$M_x$用$y$，$M_y$用$x$。
• 转动惯量：二阶矩。平面薄片$I_x$用$y^2$，$I_y$用$x^2$；空间物体$I_x$用$y^2+z^2$。

这些“母公式”单独背都不难，难的是看到题目时知道该请哪一尊神。曲率题先找导数和法线；场论题先分清数量场和向量场；全微分题先看可微性；积分应用题先画区域、看对称性。把这几步走顺，题目再综合，也只是把几个老熟人请到同一张桌子上而已。